この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第3章 §3.6

この章では、接ベクトルを受け取って数を返す線形写像として余接ベクトルを定義した。基底を取り替えると、余接ベクトルの成分は基底と同じ行列で、ベクトルの成分は逆行列で変わる。上付きと下付きの添字の区別はこの違いを記録するもので、両者を組み合わせた $\alpha_iv^i$ は基底に依らない。

関数の微分 $\mathrm{d} f$ は計量を使わずに定義される1形式で、成分は偏導関数 $\partial_if$ である。勾配を矢印として描くには計量 $g^{ij}$ が必要で、成分の数字をそのまま矢印に読み替えると座標ごとに違う矢印になった。熱力学の状態空間のように計量の無い空間でも、$\mathrm{d} U=T\,\mathrm{d} S-p\,\mathrm{d} V$ は意味を持つ。

1形式は向きのついた曲線に沿って積分できる。完全形式の線積分は端点だけで決まり、星形の領域では閉形式と完全形式が一致する（Poincaré の補題）。熱 $\delta Q$ は閉形式でない1形式で、受け取る熱は経路に依存する。積分因子 $1/T$ を掛けた $\delta Q/T$ は、エントロピーの微分になる。

解析力学では、一般化運動量 $p_i=\partial L/\partial v^i$ が余接ベクトルの成分として変換することを示した。Legendre 写像は接束 $TQ$ を余接束 $T^*Q$ へ移す。行列 $W_{ij}=\partial^2L/\partial v^i\partial v^j$ が正則なら、この写像は局所的に可逆である。

Lagrangian は $\mathbb{R}\times TQ$ の上の関数で、$(q,v,t)$ はその独立な座標である。Euler–Lagrange 方程式は、偏微分・経路の代入・$\mathrm{d}/\mathrm{d} t$ の3つの手順で計算する。

第4章では、ベクトルと1形式をいくつも受け取る多重線形写像としてテンソルを定義する。第5章では計量を導入し、この章で保留した勾配の矢印を $g^{ij}\partial_jf$ として作る。第12章では1形式を $k$ 形式へ広げ、閉形式の条件を外微分 $\mathrm{d}\omega=0$ として書き直す。第14章では余接束 $T^*Q$ の上に標準1形式 $\theta=p_i\,\mathrm{d} q^i$ を置き、相空間の幾何を組み立てる。