この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第9章 §9.6

ベクトル場の成分を偏微分しただけでは、座標の取り替えの2階微分の項が残り、テンソルにならなかった。平面の極座標ではその項が基底の回転から生じ、Christoffel 記号の項を足すと矢印そのものの変化が得られた。曲面では、空間で微分したものを接平面へ射影すると同じ形の式が現れ、法線の成分は拘束力として残った。

一般の多様体では、共変微分を公理で定め、計量との両立と捩れが無いことの2条件を課した。すると接続の係数は Christoffel 記号 (9.1) に限られ、曲面の射影で作った接続もこれと一致した。この証明は計量の正定値性を使わないので、Rindler 座標の観測者の加速度も同じ式で計算できた。

曲線に沿って共変微分が0になるように運ぶと、長さと角を保つ平行移動が得られた。閉曲線を一周したときの回転角は、囲んだ領域の Gauss 曲率の積分 (9.23) に等しく、球面の測地三角形では面積と曲率の積になった。Foucault の振り子の振動面が1日に回る角 $2\pi\sin\lambda$ は、緯線に沿う平行移動のホロノミーとして導かれた。光ファイバーの偏光と量子状態の Berry 位相も、同じ構造を持つ。

次の第10章では、速度ベクトルそのものが平行に運ばれる曲線、つまり測地線を調べる。第11章では、共変微分の交換子と小さな閉曲線のホロノミーから Riemann テンソルを定義し、この章の (9.23) を高い次元へ広げる。第15章では、ホロノミーと曲率の関係を閉じた曲面全体へ広げて Gauss–Bonnet の定理を導き、Berry 位相の計算を仕上げる。