幾何学的位相の入口

物理のための微分幾何入門　第9章 §9.5　★★ ホロノミーの構造は、光の偏光と量子状態の位相にも現れる。Berry 位相は「位相を平行移動したときの一周のずれ」である

前の節の振り子の回転角は、緯線が囲む面積だけで決まり、地球が回る速さには依らなかった。ゆっくり一周させたときに、経路の幾何だけで決まるずれが残る現象を、幾何学的位相と呼ぶ。この節では、その2つの例を、平行移動の形に書き直すところまで扱う。計算の詳しい展開は第15章 §15.5 で行う。

ねじれた光ファイバーの中の偏光

まっすぐでない光ファイバーの中を進む光を考える。ファイバーに沿う長さを $s$、光の進む向きを $\bm{t}(s)$ と書く。ファイバーの曲がり方が光の波長に比べてゆるやかなとき、光は進む向きに垂直な偏光ベクトル $\bm{E}$ を持ったまま進む。$\bm{E}$ は進む向きに垂直であり続けるために向きを変えるが、それ以外には回らない（Rytov の法則）。

$$\frac{\mathrm{d}\bm{E}}{\mathrm{d} s}=-\Bigl(\bm{E}\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{t}}{\mathrm{d} s}\Bigr)\bm{t} .\tag{9.27}$$

単位ベクトル $\bm{t}$ は単位球面の上の点とみなせ、その点での球面の接平面はちょうど $\bm{t}$ に垂直な平面である。したがって $\bm{E}$ は単位球面の接ベクトルで、(9.27) は Foucault の振り子の条件 (9.24) と同じ形をしている。つまり偏光ベクトルは、方向の球面の上で進む向きが描く曲線に沿って、平行移動される。

ファイバーの入口と出口で進む向きが同じなら、方向の球面の上の曲線は閉じている。偏光の回転角はそのホロノミーで、定理 9.12 から、曲線が囲む立体角に等しい（単位球面の Gauss 曲率は1）。A. Tomita と R. Y. Chiao は、らせん状に巻いた光ファイバーでこの回転を測り、立体角による予言と一致することを確かめた（1986年）。

Berry 位相の形

量子力学では、パラメータ $\bm{R}$（磁場の向きなど）に依るハミルトニアン $H(\bm{R})$ を考える。各パラメータで、縮退のない固有状態 $| n(\bm{R}) \rangle$ と固有値 $E_n(\bm{R})$ をとる。パラメータをゆっくり変えると、断熱定理により、状態は位相を除いて $n$ 番目の固有状態に留まる。断熱定理の主張と条件は第15章 §15.5 で述べる。

位相を2つに分けて、状態を次の形に置く。

$$| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_n(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n(t)}| n(\bm{R}(t)) \rangle ,\qquad \theta_n(t)=-\frac1\hbar\int_0^tE_n\,\mathrm{d} t' .$$

$\theta_n$ はエネルギーと時間で決まる動的な位相である。これを Schrödinger 方程式に代入すると、動的な位相の微分の項は、ハミルトニアンが固有状態に掛かって出る項と打ち消し合う。残るのは次の式である。

$$\mathrm{i}\hbar\bigl(\mathrm{i}\dot\gamma_n| n \rangle +| \dot n \rangle \bigr)\approx0 .$$

左から $\langle n |$ を掛けると $\dot\gamma_n=\mathrm{i}\langle n | \dot n \rangle$ を得る。パラメータが閉曲線 $C$ を一周すると、$\gamma_n$ は次の値だけ増える。

$$\gamma_n(C)=\oint_C\bm{A}_n\cdot\mathrm{d}\bm{R},\qquad \bm{A}_n(\bm{R})=\mathrm{i}\langle n(\bm{R}) | \nabla_{\bm{R}}n(\bm{R}) \rangle .\tag{9.28}$$

$\bm{A}_n$ を Berry 接続、$\gamma_n(C)$ を Berry 位相と呼ぶ。

規格化の条件 $\langle n | n \rangle =1$ を微分すると、$\langle n | \nabla n \rangle$ は純虚数になる。したがって Berry 接続は実数のベクトルである（確認テスト 9.5-1）。固有状態の位相は取り方に任意性があり、$| n \rangle \to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\bm{R})}| n \rangle$ と取り替えると $\bm{A}_n\to\bm{A}_n-\nabla\chi$ となる。$\chi$ が一価なら閉曲線の線積分は変わらないので、Berry 位相は位相の取り方に依らない（確認テスト 9.5-2）。

この計算を、平行移動の言葉で読み直す。各パラメータでの「状態の位相の自由度」を、各点の接平面に当たるものとみなす。$\langle n | \dot n \rangle =0$ になるように位相を選んで運ぶことが平行移動に当たり、一周して戻ったときの位相のずれ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_n}$ がホロノミーに当たる。Stokes の定理で書き直すと、Berry 位相は Berry 曲率 $\bm{\Omega}_n=\nabla_{\bm{R}}\times\bm{A}_n$ の、閉曲線が囲む面を通る流束になる。

たとえば、磁場の中のスピン 1/2 で磁場の向きをゆっくり一周させると、Berry 位相は磁場の向きが描く立体角の半分（符号つき）になる。光ファイバーの偏光の回転角が立体角そのものであったのと、同じ形の結果である。この計算と、Berry 曲率を閉曲面で積分した値が $2\pi$ の整数倍になること（Chern 数）は、第15章 §15.5 で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 9.5-1 規格化の条件 $\langle n | n \rangle =1$ から、$\langle n | \nabla_{\bm{R}}n \rangle$ が純虚数であることを示せ。このことから Berry 接続が実数であることを結論せよ。

2. 9.5-2 位相の取り替え $| n \rangle \to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(\bm{R})}| n \rangle$ で、Berry 接続が $\bm{A}_n\to\bm{A}_n-\nabla\chi$ と変わることを示せ。さらに次の2つを確かめよ。

   1. (a) $\chi$ が一価なら、Berry 位相は変わらない。
   2. (b) $\chi$ が一周で $2\pi$ の整数倍だけ増えるなら、位相因子は変わらない。

3. 9.5-3 中心軸と $45^\circ$ をなすらせんに巻いた光ファイバーで、1巻きあたりの偏光の回転角の大きさを求めよ。

4. 9.5-4 Berry 位相 (9.28) が、閉曲線をたどる速さ（パラメータの取り方）に依らないことを示せ。