Berry 位相と Chern 数の入口

物理のための微分幾何入門　第15章 §15.5　★★ パラメータを一周させた固有状態は幾何学的な位相を得る。その曲率の積分は整数になる

Hamiltonian $H(\bm{R})$ が外部のパラメータ（たとえば磁場の向き）に依存し、パラメータをゆっくり動かす場合を考える。断熱定理により、縮退していない固有状態 $| n(\bm{R}) \rangle$ にあった系は、同じ番号の固有状態にとどまる。パラメータを閉じた道に沿って一周させて元に戻すと、状態はエネルギーで決まる動的な位相のほかに、道の形だけで決まる位相を得る。これが Berry 位相で、前節のゲージ場と同じ構造をパラメータ空間の上に持つ。

Berry 接続と Berry 位相

第9章 §9.5 では、断熱的に動かした固有状態 $| n(\bm{R}(t)) \rangle$ が、動的な位相のほかに $\dot\gamma=\mathrm{i}\langle n | \dot n \rangle$ に従う位相を拾うことを導いた（式 (9.28)）。導出はそちらに譲り、ここではその結果をパラメータ空間の上の微分形式で書き直す。

規格化の条件を微分すると $\langle n | \mathrm{d} n \rangle$ は純虚数になるので、Berry 接続は実数の1形式である（確認テスト 15.5-1）。固有状態の位相は各点で自由に選べ、$| n \rangle \mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Lambda(\bm{R})}| n \rangle$ と取り替えると $A_n\mapsto A_n-\mathrm{d}\Lambda$ となる。これは (15.9) と同じ形のゲージ変換である。

したがって Berry 曲率は位相の選び方によらない。閉じた道の Berry 位相も、$2\pi$ の整数倍を除いて変わらない。位相因子は道の上で1価なので、$\Lambda$ の一周の変化が $2\pi$ の整数倍だからである。

磁場の中のスピン 1/2

磁場の向きを、極角 $\vartheta$ と方位角 $\varphi$ を使った単位ベクトルで表す。

$$\bm{n}=(\sin\vartheta\cos\varphi,\ \sin\vartheta\sin\varphi,\ \cos\vartheta) .$$

この磁場の中のスピン $1/2$ を考える。Hamiltonian を $H=-b\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ とし、$b>0$ は定数とする。基底状態は $\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値 $+1$ の固有状態で、次のように選べる。

$$| \bm{n},+ \rangle =\begin{pmatrix}\cos(\vartheta/2)\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin(\vartheta/2)\end{pmatrix}.\tag{15.12}$$

この状態を微分して、$\langle \bm{n},+ |$ との内積をとる。$\mathrm{d}\vartheta$ の項は、2つの成分からの寄与が打ち消し合って消える。

$$-\frac12\cos\frac\vartheta2\sin\frac\vartheta2+\frac12\sin\frac\vartheta2\cos\frac\vartheta2=0 .$$

残る $\mathrm{d}\varphi$ の項から、Berry 接続と Berry 曲率は次のようになる。

$$A_+=\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}\sin^2\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi=-\sin^2\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi,\qquad \Omega_+=\mathrm{d} A_+=-\frac12\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi .$$

Berry 曲率は、パラメータの球面の面積要素の $-1/2$ 倍である。

磁場の向きを極角 $\vartheta_0$ の円錐に沿って一周させる（図15.5）。道は緯線で、方位角が $0$ から $2\pi$ まで増える向きに回るので、Berry 位相は次の値になる。

$$\gamma_+(C)=-2\pi\sin^2\frac{\vartheta_0}{2}=-\pi(1-\cos\vartheta_0)=-\frac{\mathcal S_C}{2} .\tag{15.13}$$

ここで $\mathcal S_C=2\pi(1-\cos\vartheta_0)$ は、道 $C$ が囲む立体角である。

スピン $1/2$ の Berry 位相は、道が囲む立体角の半分の符号を変えたものである。立体角は道の形だけで決まり、どれだけゆっくり回したかにはよらない。この位相は、2つの経路を通したスピンの干渉で観測することができる。

Chern 数が整数になる筋

Berry 曲率をパラメータの球面の全体で積分すると、スピン $1/2$ の基底状態では次の値になる。

$$\int_{S^2}\Omega_+=-\frac12\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi=-2\pi .$$

これを $2\pi$ で割った $-1$ が整数になるのは偶然ではない。閉曲面で Gauss 曲率の積分が $2\pi\chi$ になったのと同じ理由で、Berry 曲率の積分も $2\pi$ の整数倍になる。

証明

(15.12) の選び方は、南極で因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ が残って1価でない。一般に、球面全体で1価で滑らかな位相の選び方があるとは限らない。しかし円板の上ではいつでも滑らかな選び方ができる。円板は1点に縮められるので、状態の位相を連続的に固定できるからである。

そこで球面を、北半球を少し広げた $U_N$ と、南半球を少し広げた $U_S$ に分ける。それぞれで滑らかな選び方 $| n \rangle _N$ と $| n \rangle _S$ をとる。重なりの帯の上では2つは同じ状態の位相違いなので、$| n \rangle _S=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Lambda}| n \rangle _N$ と書け、$A_S=A_N-\mathrm{d}\Lambda$ が成り立つ。

赤道 $E$ を方位角の増える向きにとる。北半球の境界は $E$、南半球の境界は $E$ を逆向きにたどったものなので、Stokes の定理から次の式になる。

$$\int_{S^2}\Omega_n=\int_{H_N}\mathrm{d} A_N+\int_{H_S}\mathrm{d} A_S=\oint_EA_N-\oint_EA_S=\oint_E\mathrm{d}\Lambda .$$

位相因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Lambda}$ は赤道の上で1価なので、右辺は $2\pi$ の整数倍である。したがって Chern 数は整数である。

スピン $1/2$ では、南の選び方として $| \bm{n},+ \rangle _S=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}| \bm{n},+ \rangle$ をとると、南極で1価になる。このとき $\Lambda=-\varphi$ なので、赤道での積分は $-2\pi$ となる。こうして $C_+=-1$ が再現される。Chern 数は、2つの選び方をつなぐ位相因子が赤道を一周するあいだに何回まわるかを数えている。

確認テスト

オリジナル

1. 15.5-1 Berry 接続 $A_n=\mathrm{i}\langle n | \mathrm{d} n \rangle$ が実数であることを示せ。また、Berry 接続・Berry 曲率・閉じた道の Berry 位相のうち、位相の選び方によらないものを答えよ。
2. 15.5-2 スピン $1/2$ の励起状態を次のように選ぶ。

$$| \bm{n},- \rangle =\begin{pmatrix}\sin(\vartheta/2)\\ -\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\cos(\vartheta/2)\end{pmatrix}.$$

この状態の Berry 接続と Berry 曲率を求め、極角 $\vartheta_0$ の緯線に沿う Berry 位相と Chern 数 $C_-$ を求めよ。3. 15.5-3 スピン1で、磁場の向きのスピン成分 $\bm{n}\cdot\hat{\bm{S}}/\hbar$ の固有値 $+1$ の固有状態を考える。$S_z$ の固有基底（$m=1,0,-1$ の順）で、この状態は次のように選べる。

$$| \bm{n},1 \rangle =\Bigl(\cos^2\frac\vartheta2,\ \sqrt2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin\frac\vartheta2\cos\frac\vartheta2,\ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\varphi}\sin^2\frac\vartheta2\Bigr)^{\mathsf T}.$$

Berry 接続・緯線に沿う Berry 位相・Chern 数を求め、Berry 位相が立体角そのものに $-1$ を掛けたものになることを確かめよ。4. 15.5-4 パラメータ空間が球面のとき、ある状態の Berry 接続が球面全体で定義された滑らかな1形式として選べるなら、Chern 数は0であることを示せ。これを使い、スピン $1/2$ の基底状態の位相は球面全体で1価かつ滑らかには選べないことを説明せよ。