この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第15章 §15.6

この章の出発点は、接続1形式についての構造方程式 $\mathrm{d}\omega_{12}=-K\,\mathrm{d} A$ だった。これを測地曲率の式と組み合わせ、Stokes の定理と接線の回転定理を使うと、局所の Gauss–Bonnet の定理が出た。測地三角形の内角の和の $\pi$ からのずれは、囲んだ曲率の積分に等しい。地球上の1辺 $100\ \mathrm{km}$ の三角形でこのずれは約 $22''$ であり、Foucault の振り子の回転も同じ式から読める。

曲面を三角形に分けて局所の定理を足すと、辺の項が打ち消し合って $\int_MK\,\mathrm{d} A=2\pi\chi(M)$ が残った。左辺は計量の量、右辺は分割を数えた位相の量なので、全曲率は計量によらず、Euler 標数は分割によらない。多面体ではこれが欠損角の総和（Descartes の定理）になり、フラーレンの五員環が12個に限られることを導いた。

同じ構造方程式を、零点の無い枠 $X/\left\vert X\right\vert$ に使った。零点のまわりで指数に比例するずれが生じ、指数の和が Euler 標数に等しいこと（Poincaré–Hopf の定理）が出た。球面の上の風はどこかで止まり、トカマクの磁気面はトーラスでなければならない。勾配のベクトル場に使うと、極大点・鞍点・極小点の数の関係になる。

後半では、同じ形の式が物理の基本法則に現れることを見た。ベクトルポテンシャルは波動関数の位相の接続で、ゲージ変換は枠の取り替え、磁場は曲率、Aharonov–Bohm の位相はホロノミーである。量子力学の断熱変化では Berry 接続が同じ役を担い、スピン $1/2$ は立体角の半分の位相を得た。曲率の積分が整数になること（Chern 数）は、2つの位相の選び方をつなぐ因子の巻き数として理解できる。

「曲率の積分が整数になる」という事実は、Chern–Weil 理論・ファイバー束の特性類・トポロジカル絶縁体の理論へ続いている。一般相対論で時空の曲率を扱う話は相対論入門 第8〜14章にある。ゲージ場を作用から導く話は虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部にある。この巻で積み上げた座標・接ベクトル・形式・計量・接続・曲率の道具は、そのまま使うことができる。