確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第15章 §15.7

1. 15.1-1 (15.5) で $K=-1$ とおくと、内角の和と面積の関係は次のようになる。

$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi=-A .$$

内角がすべて $\pi/4$ なら、面積は $A=\pi-3\pi/4=\pi/4$ である。一般に内角は正なので、$A=\pi-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)<\pi$ となる。双曲平面の三角形は、どれほど大きく描いても面積が $\pi$ を超えない。2. 15.1-2 角過剰は $90^\circ+60^\circ+60^\circ-180^\circ=30^\circ$ で、ラジアンでは $\pi/6$ である。球面の Gauss 曲率は $1/a^2$ なので、面積は角過剰の $a^2$ 倍になる。

$$A=\frac{\pi}{6}a^2=\frac{\pi}{6}\times6371^2\ \mathrm{km}^2=2.125\times10^7\ \mathrm{km}^2 .$$ 3. 15.1-3 外角は $\pi-\alpha_i$ で、辺は測地線なので測地曲率は0である。(15.4) は $A+n\pi-\sum\alpha_i=2\pi$ となるので、次の式を得る。

$$\sum_{i=1}^n\alpha_i=(n-2)\pi+A .$$

四角形で内角がすべて $2\pi/3$ なら、面積は $4\cdot2\pi/3-2\pi=2\pi/3$ である。これは $4\pi/6$ に等しく、6面で球面全体の面積 $4\pi$ を等分していることと合う。4. 15.1-4 2本の測地線が点 $P,Q$ で交わり、円板状の領域 $R$ を囲んだとする。境界は2本の測地線の弧なので、測地曲率は0である。

2つの交点での内角を $\alpha,\beta\in(0,\pi)$ とする。外角は $\pi-\alpha$ と $\pi-\beta$ である。(15.4) は次の式になる。

$$\int_RK\,\mathrm{d} A+(\pi-\alpha)+(\pi-\beta)=2\pi,\qquad\text{すなわち}\qquad\int_RK\,\mathrm{d} A=\alpha+\beta>0 .$$

$K\le0$ なら左辺は0以下なので矛盾し、このような領域は存在しない。5. 15.2-1 球面は $\chi=2$、トーラスは $\chi=0$ である。種数2の曲面は $\chi=2-4=-2$ である。いたる所で $K>0$ なら全曲率は正なので、(15.6) から $\chi>0$ が要る。3つのうち候補は球面だけで、実際に半径1の球面の計量がその例である。6. 15.2-2 正八面体の頂点には正三角形が4つ集まり、欠損角は $2\pi-4\pi/3=2\pi/3$ である。頂点は6個なので、総和は $4\pi$ になる。正二十面体では正三角形が5つ集まって欠損角は $\pi/3$ で、頂点12個で総和 $4\pi$ になる。正十二面体では内角 $3\pi/5$ の正五角形が3つ集まって、欠損角は $\pi/5$ になる。頂点は20個なので、総和は $4\pi$ になる。7. 15.2-3 第一基本形式の係数は $E=(a+b\cos v)^2$ と $G=b^2$ で、交差項は0である。面積要素は $\mathrm{d} A=b(a+b\cos v)\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ なので、$K\,\mathrm{d} A=\cos v\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ となり、次の積分を得る。

$$\int K\,\mathrm{d} A=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\cos v\,\mathrm{d} v\,\mathrm{d} u=0 .$$

曲率が正の部分は $\cos v>0$ の外側である。その積分は次の値である。

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos v\,\mathrm{d} v\,\mathrm{d} u=2\pi\times2=4\pi .$$

曲率が負の内側の部分は $-4\pi$ で、両者は打ち消し合う。8. 15.2-4 辺が5本集まる頂点の数を $n_5$、6本集まる頂点の数を $n_6$ とする。面は三角形なので $3F=2E$ である。頂点から数えると、次の式が成り立つ。

$$5n_5+6n_6=2E,\qquad V=n_5+n_6 .$$

これらを Euler 標数の式に入れる。

$$V-E+F=V-\frac{E}{3}=n_5+n_6-\frac{5n_5+6n_6}{6}=\frac{n_5}{6}=2 .$$

したがって $n_5=12$ である。平らな三角形の網目では各頂点に正三角形が6つ集まって $2\pi$ になり、辺が5本の頂点は欠損角 $\pi/3$ を持つ。欠損角で数えても、$12\times\pi/3=4\pi$ で同じ結論になる。9. 15.3-1 ベクトル場は線形で、行列は次のとおりである。

$$A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \det A=1+1=2>0 .$$

補題 15.12 から指数は $+1$ である。吸い込みか湧き出しか、渦を巻くかどうかは指数に関係しない。10. 15.3-2 3乗を展開すると次のようになる。

$$\bar z^{\,3}=(x-\mathrm{i} y)^3=(x^3-3xy^2)-\mathrm{i}(3x^2y-y^3) .$$

したがって成分は $(x^3-3xy^2,\ -3x^2y+y^3)$ である。単位円 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ の上では $\bar z^{\,3}=\mathrm{e}^{-3\mathrm{i} t}$ である。したがってベクトルの角は円の角の $-3$ 倍である。一周で角は $-6\pi$ 変わるので、指数は $-3$ である。11. 15.3-3 高さ関数の偏微分は次のとおりである。

$$z_u=(a+b\cos v)\cos u,\qquad z_v=-b\sin v\sin u .$$

係数 $a+b\cos v$ は正なので、1つ目の条件は $\cos u=0$ と同じである。そのとき $\sin u=\pm1$ なので、2つ目の条件は $\sin v=0$ となる。臨界点は $u=\pm\pi/2$ と $v\in\{0,\pi\}$ の組の4つである。

臨界点では $z_{uv}=-b\sin v\cos u=0$ なので、Hesse 行列は対角になる。対角成分は次のとおりである。

$$z_{uu}=-(a+b\cos v)\sin u,\qquad z_{vv}=-b\cos v\sin u .$$

各点の符号は次の表のとおりである。

和は $1-1-1+1=0=\chi(T^2)$ である。

曲面の座標で Hesse 行列を計算してよいのは、臨界点では1階微分が0だからである。このとき座標を取り替えても Hesse 行列は合同変換を受けるだけで、行列式の符号は変わらない。12. 15.3-4 磁気面 $M$ の上で磁場は面に接するので、$M$ の上の接ベクトル場である。仮定から零点は無いので、(15.8) の左辺は0で、$\chi(M)=0$ となる。球面は $\chi=2$ なので、磁気面になりえない。向きのついた連結な閉曲面で $\chi=0$ のものはトーラスだけなので、磁気面はトーラスになる。13. 15.4-1 変わらないのは、磁場・閉じた道の線積分・確率密度の3つ（(b)・(c)・(e)）である。ベクトルポテンシャルは $\nabla\Lambda$ だけ変わり、1点での位相は $q\Lambda/\hbar$ だけ変わる。閉じた道の線積分は Stokes の定理で磁束に等しく、磁場で書けるので変わらない。14. 15.4-2 ポテンシャルの成分は $A_x=-By/2$ と $A_y=Bx/2$ である。任意の $\psi$ について交換子を展開すると、2階微分の項とポテンシャルどうしの積の項は打ち消し合う。微分がポテンシャルにかかる項だけが残る。

$$[D_x,D_y]\psi=-\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\bigl(\partial_xA_y-\partial_yA_x\bigr)\psi=-\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\Bigl(\frac B2+\frac B2\Bigr)\psi=-\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}B\psi .$$

$F_{xy}=B_z=B$ なので、(15.11) と一致する。15. 15.4-3 円柱座標で $A_\varphi=\Phi/(2\pi r)$、ほかの成分は0である。回転の $z$ 成分は次のようになり、ほかの成分も0である。

$$(\nabla\times\bm{A})_z=\frac1r\frac{\partial }{\partial r}(rA_\varphi)=\frac1r\frac{\partial }{\partial r}\Bigl(\frac{\Phi}{2\pi}\Bigr)=0\qquad(r>0).$$

半径 $r$ の円での線積分は、$A_\varphi\cdot2\pi r=\Phi$ となり、半径によらない。1形式では $A=\frac{\Phi}{2\pi}\mathrm{d}\varphi$ で、閉形式だが完全形式でない。16. 15.4-4 定義 15.1 を使って、回した枠の微分を計算する。

$$\nabla_Xe'_1=X(\Lambda)(-\sin\Lambda\,e_1+\cos\Lambda\,e_2)+\cos\Lambda\,\omega_{12}(X)\,e_2-\sin\Lambda\,\omega_{12}(X)\,e_1 =\bigl(\mathrm{d}\Lambda(X)+\omega_{12}(X)\bigr)e'_2 .$$

したがって新しい枠の接続1形式は $\omega_{12}+\mathrm{d}\Lambda$ である。

Gauss 曲率は、$\mathrm{d}\mathrm{d}\Lambda=0$ なので $-\mathrm{d}\omega_{12}$ から変わらない。

閉じた道の回転角は $-\oint\omega_{12}$ で、枠を替えると $-\oint\mathrm{d}\Lambda$ だけ変わる。枠が道の上で1価なら、$\oint\mathrm{d}\Lambda$ は $2\pi$ の整数倍である。したがって回転角は、$2\pi$ を法として変わらない。道が円板を囲むなら、回転角は Stokes の定理で曲率の積分に等しく、完全に一致する。17. 15.5-1 規格化の条件 $\langle n | n \rangle =1$ を微分すると、次の式になる。

$$\langle \mathrm{d} n | n \rangle +\langle n | \mathrm{d} n \rangle =\overline{\langle n | \mathrm{d} n \rangle }+\langle n | \mathrm{d} n \rangle =0 .$$

したがって $\langle n | \mathrm{d} n \rangle$ は純虚数で、それに $\mathrm{i}$ を掛けた Berry 接続は実数である。位相の選び方によらないのは Berry 曲率で、閉じた道の Berry 位相は $2\pi$ を法として選び方によらない。Berry 接続そのものは $\mathrm{d}\Lambda$ だけ変わる。18. 15.5-2 微分の $\mathrm{d}\vartheta$ の項は打ち消し合い、$\mathrm{d}\varphi$ の項は第2成分からだけ出る。

$$A_-=\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}\cos^2\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi=-\cos^2\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi,\qquad \Omega_-=\mathrm{d} A_-=+\frac12\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi .$$

緯線に沿う Berry 位相は次の値になる。

$$\gamma_-=-2\pi\cos^2\frac{\vartheta_0}{2}=-\pi(1+\cos\vartheta_0)\equiv\pi(1-\cos\vartheta_0)=+\frac{\mathcal S_C}{2}\pmod{2\pi}.$$

Chern 数は $C_-=+1$ で、2つの状態の Chern 数の和は0になる。19. 15.5-3 第1成分は実数で $\mathrm{d}\varphi$ を含まず、$\mathrm{d}\vartheta$ の項は規格化から打ち消し合う。第2成分と第3成分の寄与は、それぞれ次のとおりである。

$$\mathrm{i}\cdot2\sin^2\frac\vartheta2\cos^2\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi,\qquad 2\mathrm{i}\sin^4\frac\vartheta2\,\mathrm{d}\varphi .$$

$\mathrm{i}$ を掛けて足すと、Berry 接続は次のようになる。

$$A=-2\sin^2\frac\vartheta2\Bigl(\cos^2\frac\vartheta2+\sin^2\frac\vartheta2\Bigr)\mathrm{d}\varphi=-(1-\cos\vartheta)\,\mathrm{d}\varphi .$$

緯線に沿う Berry 位相は $\gamma=-2\pi(1-\cos\vartheta_0)=-\mathcal S_C$ である。Berry 曲率は $\mathrm{d} A=-\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi$ で、Chern 数は $-2$ となる。この接続は、単位球面の接続1形式 $\cos\vartheta\,\mathrm{d}\varphi$ と $\mathrm{d}\varphi$ だけ違う。Chern 数の大きさ2は、球面の Euler 標数2と一致する。20. 15.5-4 Berry 接続が球面全体で滑らかなら、境界の無い球面に Stokes の定理を使って次の式になる。

$$\int_{S^2}\Omega=\int_{S^2}\mathrm{d} A=\oint_{\partial S^2}A=0 .$$

したがって Chern 数は0である。スピン $1/2$ の基底状態では $C_+=-1$ なので、球面全体で滑らかな Berry 接続は存在しない。つまり、球面全体で1価かつ滑らかな位相の選び方は存在しない。(15.12) が南極で1価でなかったのは、選び方が下手だったからではなく、この理由による。