多重極展開（双極子・四重極）

電磁気学入門　第3章 §3.5　★★★ 遠方の電位を電荷分布のモーメントで表す展開。原子・分子と放射の章（第11章）の土台

展開の導出

電荷分布 $\rho(\bm r')$ が、原点のまわりの半径 $R$ の球の中にあるとする。その外 $r>R$ の点の電位

$$\phi(\bm r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\bm r')}{\left\vert \bm r-\bm r'\right\vert }\,\mathrm{d} V'$$

を $r'/r$ のべきで展開する。2つの位置ベクトルのなす角を $\gamma$ とする。母関数 (3.19) で $t=r'/r$、$x=\cos\gamma$ とおいて

$$\frac{1}{\left\vert \bm r-\bm r'\right\vert }=\frac{1}{r\sqrt{1-2(r'/r)\cos\gamma+(r'/r)^2}}=\sum_{l=0}^\infty\frac{r'^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\gamma)\tag{3.20}$$

が得られる。これを積分に入れると

$$\phi(\bm r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{r^{l+1}}\int r'^lP_l(\cos\gamma)\rho(\bm r')\,\mathrm{d} V'\tag{3.21}$$

となる。$l$ 番目の項は $1/r^{l+1}$ で減るので、遠方では低い次数の項ほど大きい。これを多重極展開と呼ぶ。

最初の3項を直交座標で書き直す。$\hat{\bm r}=\bm r/r$ とすると $r'\cos\gamma=\hat{\bm r}\cdot\bm r'$ なので、

$$\begin{aligned}l=0:&\quad\int\rho\,\mathrm{d} V'=Q\quad(\text{全電荷}),\\ l=1:&\quad\int r'\cos\gamma\,\rho\,\mathrm{d} V'=\hat{\bm r}\cdot\int\bm r'\rho\,\mathrm{d} V'=\hat{\bm r}\cdot\bm p,\\ l=2:&\quad\int r'^2\tfrac12(3\cos^2\gamma-1)\rho\,\mathrm{d} V'=\frac12\int\bigl(3(\hat{\bm r}\cdot\bm r')^2-r'^2\bigr)\rho\,\mathrm{d} V' =\frac12\sum_{i,j}\hat r_i\hat r_jQ_{ij}\end{aligned}$$

である。最後の等号では $r'^2=r'^2\sum_i\hat r_i^2=\sum_{i,j}\hat r_i\hat r_j\,r'^2\delta_{ij}$ と書いた。ここで

$$\bm p=\int\bm r'\rho(\bm r')\,\mathrm{d} V',\qquad Q_{ij}=\int\bigl(3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}\bigr)\rho(\bm r')\,\mathrm{d} V'\tag{3.22}$$

をそれぞれ電気双極子モーメント、電気四重極モーメント（テンソル）と呼ぶ。まとめると

$$\phi(\bm r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{Q}{r}+\frac{\bm p\cdot\hat{\bm r}}{r^2}+\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{Q_{ij}\hat r_i\hat r_j}{r^3}+\cdots\right]\tag{3.23}$$

である。$Q_{ij}$ は対称で、対角和がゼロ（$\sum_iQ_{ii}=\int(3r'^2-3r'^2)\rho=0$）なので、独立な成分は5個である。$l$ 番目の項の独立な成分の数は $2l+1$ で、最初の3項では 1, 3, 5 である。この数は、方位角の依存性まで含めた球面調和関数 $Y_{lm}$ の個数（$m=-l,\dots,l$）と一致する。

双極子の電場

双極子の項 $\phi_{\mathrm{dip}}=\dfrac{\bm p\cdot\bm r}{4\pi\varepsilon_0r^3}$ の電場を求める。$\nabla(\bm p\cdot\bm r)=\bm p$、$\nabla r^{-3}=-3\bm r/r^5$ を使うと

$$\bm E_{\mathrm{dip}}=-\nabla\phi_{\mathrm{dip}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3(\bm p\cdot\hat{\bm r})\hat{\bm r}-\bm p}{r^3}\tag{3.24}$$

となる。$\bm p=p\hat{\bm z}$ のとき球座標の成分は

$$E_r=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3},\qquad E_\theta=\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$

である。電気力線は $\mathrm{d} r/(r\,\mathrm{d}\theta)=E_r/E_\theta=2\cot\theta$ を満たすので、積分して $\log r=2\log\sin\theta+\text{定数}$、すなわち

$$r=r_0\sin^2\theta\tag{3.25}$$

が電気力線の式である（図 3.4）。電場は $1/r^3$ で減り、点電荷の $1/r^2$ より速い。遠方から見ると正負の電荷が重なって見えて打ち消し合い、そのずれの分だけが残るからである。

外部電場の中の双極子

外から与えた電場 $\bm E(\bm r)=-\nabla\phi_{\text{外}}$ の中に、小さな電荷分布を置く。電荷分布の中の点 $\bm r_0+\bm s$ での外部電位を、ずれ $\bm s$ について1次まで展開すると

$$\phi_{\text{外}}(\bm r_0+\bm s)\simeq\phi_{\text{外}}(\bm r_0)+\bm s\cdot\nabla\phi_{\text{外}}(\bm r_0)$$

となる。よって電荷分布の位置エネルギーは

$$U=\int\rho(\bm s)\phi_{\text{外}}(\bm r_0+\bm s)\,\mathrm{d} V_s\simeq Q\phi_{\text{外}}(\bm r_0)-\bm p\cdot\bm E(\bm r_0)\tag{3.26}$$

となる。中性の分布では $U=-\bm p\cdot\bm E$ で、双極子が電場と同じ向きのときにエネルギーが最も低い。双極子と電場のなす角を $\alpha$ とすると、エネルギーと力のモーメント（トルク）は

$$U=-pE\cos\alpha,\qquad -\frac{\partial U}{\partial \alpha}=-pE\sin\alpha,\qquad \bm N=\bm p\times\bm E$$

である。電場が一様でなければ、双極子は力

$$\bm F=-\nabla U=\nabla(\bm p\cdot\bm E)=(\bm p\cdot\nabla)\bm E$$

も受ける。最後の等号では、双極子モーメントを定数とし、$\nabla\times\bm E=\bm 0$ を使った。

確認テスト

オリジナル

1. 3.5-1 全電荷がゼロの電荷分布では、双極子モーメント $\bm p$ が原点の取り方によらないことを示せ。
2. 3.5-2 $xy$ 面上の4点に点電荷を置く。2点 $(\pm d,0,0)$ には $q$ を置く。残りの2点 $(0,\pm d,0)$ には $-q$ を置く。全電荷・双極子モーメント・四重極モーメント $Q_{ij}$ を求め、遠方の電位の主要項を $x,y,r$ で書け。
3. 3.5-3 双極子の電場 (3.24) から、電気力線の式 $r=r_0\sin^2\theta$ を導け。また、赤道面（$\theta=\pi/2$）と軸上で、同じ距離の点の電場の大きさの比を求めよ。
4. 3.5-4 水の分子の電気双極子モーメントを $p=6.2\times10^{-30}\,\mathrm{C\,m}$ とする。大きさ $E=1.0\times10^{6}\,\mathrm{V/m}$ の一様な電場の中で、双極子が電場と同じ向きのときと逆向きのときのエネルギーの差を求めよ。それを温度 $T=300\,\mathrm K$ の熱エネルギー $k_{\mathrm B} T$ と比べよ。Boltzmann 定数は $k_{\mathrm B}=1.381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ とする。