この章のまとめ

電磁気学入門　第3章 §3.6

静電平衡にある導体の中では電場がゼロで、導体全体は1つの等電位領域になり、電荷はすべて表面に乗る。この事実から、導体の表面で「電位が一定」という境界条件が出る。表面の電荷の分布は問題を解いたあとで$\sigma=-\varepsilon_0\partial\phi/\partial n$ から読み取る量であり、前もって与える量ではない。

導体の全電荷を指定した問題でも解は1つに決まり（定理 3.2）、電荷の無い領域の電位は内部で極値をとらない（補題 3.3）。この2つから、電荷の無い空洞の中が外の電場から遮蔽されることが示された。

導体の電荷と電位の関係は線形で、電位係数 $p_{ij}$ と容量係数 $c_{ij}$ の行列にまとめられる。Green の相反定理から両者は対称行列であり、静電エネルギー $W=\frac12\sum p_{ij}Q_iQ_j$ の正値性から正定値である。コンデンサーの容量はこれらの係数の組み合わせとして得られる。

境界値問題を実際に解く方法として、鏡像法と変数分離を扱った。鏡像法は、求めたい領域の外に仮想の電荷を置いて境界条件を満たす解を1つ作り、一意性定理によってそれを答えとする方法である。

変数分離は、Laplace 方程式を座標ごとの常微分方程式に分け、分離解の重ね合わせの係数を直交性で境界条件に合わせる方法である。球座標の角度部分から Legendre 多項式が現れ、その母関数は点電荷の電位 $1/\left\vert \bm r-\bm r'\right\vert$ の展開そのものであった。この展開を電荷分布で積分したものが多重極展開で、遠方の電位は全電荷・双極子モーメント・四重極モーメントの順に $1/r,1/r^2,1/r^3$ で減る項で表される。

次の第4章では、外から加えた電場によって物質の中の分子に誘起される双極子モーメント（分極）を扱う。この章で導いた双極子の電位 (3.23) と外部電場の中の双極子のエネルギー (3.26) が、その出発点になる。一様な電場の中の導体球（例題 3.5）の解き方は、誘電体の球を一様な電場に置く問題にそのまま使える。

第5章 §5.5 の磁気双極子は、ここでの電気双極子と同じ形の場を作る。第11章の電気双極子放射では、時間変化する双極子モーメントが放射の主要項になる。