分極と分極電荷

電磁気学入門　第4章 §4.1　★★ 分極した物質の電場は、表面電荷 $\bm{P}\cdot\bm{n}$ と体積電荷 $-\nabla\cdot\bm{P}$ の電場に等しい

第2章と第3章では、真空の中に電荷と導体だけがある場合の静電場を扱った。導体の中では電荷が自由に動けるので、外から電場をかけると電荷が表面まで移動し、内部の電場は 0 になる。

ところが、ガラス・プラスチック・油・水のような絶縁体（誘電体）では、電子は原子や分子に束縛されていて、遠くまでは動けない。それでも電場をかけると、1つ1つの原子や分子の中で正の電荷と負の電荷がわずかにずれ、物質全体が小さな電気双極子の集まりになる。この現象を分極と呼ぶ。

この章の目標は、分極した物質がつくる電場を、物質の微視的な構造に立ち入らずに計算できる形へまとめることである。

§4.1 では、分極の大きさを単位体積あたりの双極子モーメント $\bm{P}$ で表し、分極した物質が表面と内部に「分極電荷」を持つのと同じ電場をつくることを示す。§4.2 では、この分極電荷を Gauss の法則に繰り込んで電束密度 $\bm{D}$ を定義し、$\bm{D}$ の源が外から置いた電荷（自由電荷）だけになることを示す。

§4.3 では、2つの誘電体の境界で電場と電束密度が満たす条件を導き、電気力線が境界で折れ曲がる理由を説明する。§4.4 では、誘電体を含む系の静電エネルギーと、誘電体に働く力を求める。

前の章から借りる結果は次のとおりである。第2章で導いた真空中の静電場の基本法則

$$\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\times\bm{E}=\bm{0},\qquad \bm{E}=-\nabla\phi\tag{4.1}$$

と、第2章 §2.3 の Poisson 方程式の解の一意性、第2章 §2.4 の静電エネルギー $W=\frac12\int\rho\phi\,\mathrm{d} V$ を使う。第3章 §3.5 の多重極展開からは、原点にある双極子モーメント $\bm{p}$ の電位

$$\phi_{\mathrm{dip}}(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\bm{p}\cdot\bm{r}}{r^3}\tag{4.2}$$

を、第3章 §3.4 からは球座標の Laplace 方程式の解 $r^l P_l(\cos\theta)$、$r^{-l-1}P_l(\cos\theta)$ を使う。この章でつくる2つの量は、後の章で次のように現れる。

• 第6章：磁性体を扱うときの磁化 $\bm{M}$ と磁場 $\bm{H}$ が、同じ形の構造を持つ。
• 第8章：物質中の Maxwell 方程式に入る。
• 第9章：屈折率 $n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$ として現れる（透磁率が真空と同じ物質の場合）。

原子と分子の分極

まず、1つの原子に電場をかけたときに何が起きるかを考える。原子は正の原子核と、そのまわりに広がった電子の雲からなる。電場 $\bm{E}$ をかけると、原子核は電場の向きに、電子の雲は逆向きに引かれ、両者の中心がずれる。ずれが小さいうちは、電子の雲を原子核に引き戻す力はずれに比例するので、誘起される双極子モーメントは電場に比例する。

$$\bm{p}=\alpha\bm{E} .\tag{4.3}$$

比例係数 $\alpha$ を分極率と呼ぶ。単位は $\mathrm{C\cdot m^2/V}$ で、$\alpha/(4\pi\varepsilon_0)$ が体積の次元を持つ。これを電子分極と呼ぶ。

もう1つの仕組みは、水分子のように電場が無くても双極子モーメント $p_0$ を持つ分子（極性分子）で起きる。極性分子の向きは熱運動でばらばらなので、電場が無ければ平均の双極子モーメントは 0 である。電場をかけると、双極子のエネルギー

$$U=-\bm{p}\cdot\bm{E}=-p_0E\cos\theta$$

が低い向き、つまり電場にそろう向きがわずかに多くなる。平均として電場の向きの双極子モーメントが生じる。これを配向分極と呼ぶ。

温度 $T$ の熱平衡で、分子が電場と角 $\theta$ をなす確率を考える。この確率は Boltzmann 因子 $\mathrm{e}^{-U/ k_{\mathrm B} T}$ と立体角の重み $\sin\theta$ の積に比例する。$x=p_0E/ k_{\mathrm B} T$ とおくと

$$\langle \cos\theta \rangle =\frac{\int_0^\pi\cos\theta\,\mathrm{e}^{x\cos\theta}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta}{\int_0^\pi\mathrm{e}^{x\cos\theta}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln\int_{-1}^{1}\mathrm{e}^{xu}\,\mathrm{d} u=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln\frac{2\sinh x}{x}=\coth x-\frac1x\eqqcolon L(x)\tag{4.4}$$

となる。2番目の等号では $u=\cos\theta$ と置き換え、分子が分母の $x$ による微分になっていることを使った。$L(x)$ を Langevin 関数と呼ぶ。展開

$$\coth x=\frac1x+\frac x3-\frac{x^3}{45}+\cdots$$

から、$x\ll1$ では $L(x)\simeq x/3$ となる。よって

$$\langle p_z \rangle =p_0\langle \cos\theta \rangle \simeq\frac{p_0^2}{3 k_{\mathrm B} T}E\tag{4.5}$$

を得る。配向分極も弱い電場では電場に比例し、その分極率 $p_0^2/(3 k_{\mathrm B} T)$ は温度に反比例する。

図 4.1 に $L(x)$ を示す。$x$ が大きくなると双極子がそろいきって、$L\to1$ に飽和する。しかし室温で実験室の電場をかけた程度では、$x$ は $10^{-3}$ 程度で（確認テスト 4.1-4）、直線の領域から出ない。

分極ベクトル

物質の中には $1\,\mathrm{m^3}$ あたり $10^{28}$ 個程度の分子がある。1つ1つの双極子の電場を足し合わせる代わりに、巨視的に小さく微視的に大きい体積 $\Delta V$（分子間隔よりずっと大きく、場の変化の長さよりずっと小さい）をとり、その中の双極子モーメントの和を $\Delta V$ で割った量を考える。

以下で扱う電場 $\bm{E}$ も、同じ体積で平均した巨視的な電場である。分子のすぐそばの電場は分子ごとに激しく変わるが、その細部は巨視的な現象には現れない。

分極電荷

分極 $\bm{P}(\bm{r}')$ を持つ物体が領域 $V$ を占めているとする。体積要素 $\mathrm{d} V'$ は双極子モーメント $\bm{P}\,\mathrm{d} V'$ を持つ。(4.2) を重ね合わせて、物体の外または中の点 $\bm{r}$ の電位は

$$\phi(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\bm{P}(\bm{r}')\cdot(\bm{r}-\bm{r}')}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}\,\mathrm{d} V'\tag{4.6}$$

となる。ここで $\bm{r}'$ についての勾配 $\nabla'$ を使うと

$$\nabla'\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}$$

なので、被積分関数は $\bm{P}\cdot\nabla'(1/\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert )$ と書ける。積の微分の公式$\nabla'\cdot(f\bm{P})=\bm{P}\cdot\nabla' f+f\,\nabla'\cdot\bm{P}$ を $f=1/\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert$ に使うと

$$\bm{P}\cdot\nabla'\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=\nabla'\cdot\Bigl(\frac{\bm{P}}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\Bigr)-\frac{\nabla'\cdot\bm{P}}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }$$

となり、第1項に Gauss の発散定理（第1章 §1.2）を使うと

$$\phi(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\partial V}\frac{\bm{P}\cdot\bm{n}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} S' +\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{-\nabla'\cdot\bm{P}}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V'\tag{4.7}$$

を得る。$\bm{n}'$ は表面の外向き単位法線である。右辺の第1項は表面電荷密度 $\bm{P}\cdot\bm{n}$ の Coulomb 電位、第2項は体積電荷密度 $-\nabla\cdot\bm{P}$ の Coulomb 電位と同じ形をしている。

証明

前半は (4.7) そのものである。後半は、発散定理から$\int_V(-\nabla\cdot\bm{P})\,\mathrm{d} V+\oint_{\partial V}\bm{P}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S=-\oint\bm{P}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S+\oint\bm{P}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S=0$となることによる。

分極電荷が現れる理由は、図 4.2 の一様に分極した板を見ると分かる。各分子の正電荷が $+x$ 方向に、負電荷が $-x$ 方向にずれたとする。板の内部では隣り合う分子の正と負が重なって打ち消すが、右の表面には正電荷が、左の表面には負電荷が打ち消されずに残る。

ずれを $\bm{d}$ とする。正電荷の数密度を $n$、1個の電荷を $q$ とする。右の表面を単位面積あたり $nqd$ の電荷が横切って外へ出たことになり、これは分極の大きさ $P=nqd$ に等しい。

分極が場所によって変わると、ある体積要素に入ってくる正電荷と出ていく正電荷がつり合わず、内部にも電荷が残る。体積 $V$ から表面を通って出ていく正電荷は $\oint\bm{P}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S$ である。よって内部に残る電荷は

$$-\oint\bm{P}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S=-\int\nabla\cdot\bm{P}\,\mathrm{d} V$$

であり、これが $\rho_{\mathrm b}=-\nabla\cdot\bm{P}$ の意味である。

確認テスト

オリジナル

1. 4.1-1 分極 $\bm{P}$ の単位が面電荷密度の単位 $\mathrm{C/m^2}$ と同じであることを、定義から確かめよ。
2. 4.1-2 半径 $a$、長さ $L$ の円柱が、円柱座標で次の分極を持つ。

$$\bm{P}=k\,s\,\hat{\bm{s}}$$

ここで $k$ は定数、$s$ は軸からの距離である。$\hat{\bm{s}}$ は軸から離れる向きの単位ベクトルとする。体積分極電荷密度 $\rho_{\mathrm b}$ と、側面・両端面の面分極電荷密度を求めよ。また、分極電荷の総和が 0 になることを確かめよ。3. 4.1-3 例題 4.1 の球について、北極（$\theta=0$）のすぐ内側とすぐ外側の電場の鉛直成分を求めよ。その差が $\sigma_{\mathrm b}/\varepsilon_0$ に等しいことを確かめよ。4. 4.1-4 永久双極子モーメント $p_0=6.2\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}$ の分子がある。温度 $300\,\mathrm K$ で、この分子に電場 $1.0\times10^{6}\,\mathrm{V/m}$ をかける。$x=p_0E/ k_{\mathrm B} T$ と、平均の双極子モーメント $\langle p_z \rangle$ を求めよ。Boltzmann 定数は $k_{\mathrm B}=1.381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ とする。5. 4.1-5 Langevin 関数 (4.4) を $x$ について展開し、$L(x)=x/3-x^3/45+\mathcal{O}(x^5)$ となることを示せ。