誘電体のエネルギーと力

電磁気学入門　第4章 §4.4　★★ エネルギー密度は $\frac12\bm{E}\cdot\bm{D}$。誘電体に働く力は、エネルギーの変化から求める

エネルギーの式

第2章 §2.4 では、真空中の電荷分布の静電エネルギーを $W=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d} V$ と書いた。誘電体があるときは、分極電荷も電場をつくるが、分極電荷を外から自由に出し入れすることはできない。外から操作できるのは自由電荷だけなので、誘電体を含む系のエネルギーは、自由電荷を少しずつ運び込むのに要する仕事として定義する。

電位 $\phi$ の状態に、自由電荷 $\delta\rho_{\mathrm f}$ を無限遠からゆっくり運び込む仕事は

$$\delta W=\int\phi\,\delta\rho_{\mathrm f}\,\mathrm{d} V$$

である。$\delta\rho_{\mathrm f}=\nabla\cdot\delta\bm{D}$ を代入し、$\nabla\cdot(\phi\,\delta\bm{D})=\nabla\phi\cdot\delta\bm{D}+\phi\,\nabla\cdot\delta\bm{D}$ を使うと

$$\delta W=\int\nabla\cdot(\phi\,\delta\bm{D})\,\mathrm{d} V-\int\nabla\phi\cdot\delta\bm{D}\,\mathrm{d} V=\int\bm{E}\cdot\delta\bm{D}\,\mathrm{d} V$$

となる。第1項は発散定理で無限遠の面積分に直した。電荷分布が有界なら $\phi\,\delta D\sim r^{-3}$ が面積 $r^2$ より速く減るので、この項は 0 になる。

線形誘電体では $\bm{D}=\varepsilon\bm{E}$ で、誘電率が状態によらない。よって

$$\bm{E}\cdot\delta\bm{D}=\varepsilon\bm{E}\cdot\delta\bm{E}=\delta\Bigl(\frac12\bm{E}\cdot\bm{D}\Bigr)$$

である。電荷を 0 から最終の値まで運び込んだ全体の仕事を足し合わせると、次の結果を得る。

導体と線形誘電体からなる系では、(4.21) は各導体の電荷 $Q_i$ と電位 $V_i$ で

$$W=\frac12\sum_iQ_iV_i$$

と書ける（確認テスト 4.4-4）。コンデンサー1つなら $W=\frac12QV=\frac{Q^2}{2C}=\frac12CV^2$ である。

エネルギーから力を求める

誘電体に働く力を、分極電荷に働く Coulomb 力を足し合わせて直接求めるのは難しい。分極電荷の分布が、電場が決まってはじめて決まるからである。

代わりに、誘電体をわずかに動かしたときのエネルギーの変化から力を求める（仮想仕事の方法）。誘電体の位置を表す座標 $x$ を考える。電場が誘電体に、この座標の向きの力 $F$ を及ぼすとする。

電荷を一定に保つ場合：導体を電池から切り離しておくと、誘電体を $\mathrm{d} x$ 動かしても電荷は変わらない。外部からエネルギーが入らないので、電場がした仕事 $F\,\mathrm{d} x$ の分だけ静電エネルギーが減る。

$$F=-\frac{\partial W}{\partial x}\bigg|_{Q}.\tag{4.22}$$

電位を一定に保つ場合：導体を電池につないでおくと、誘電体を動かしたとき電荷が $\mathrm{d} Q_i$ だけ流れ込む。このとき電池は $\sum V_i\,\mathrm{d} Q_i$ の仕事をする。エネルギーの収支と、電位一定でのエネルギーの変化は

$$\begin{aligned}\sum V_i\,\mathrm{d} Q_i&=\mathrm{d} W+F\,\mathrm{d} x,\\ \mathrm{d} W&=\frac12\sum V_i\,\mathrm{d} Q_i &&\text{（}{V_i}\text{ が一定）}\end{aligned}$$

である。したがって $F\,\mathrm{d} x=\frac12\sum V_i\,\mathrm{d} Q_i=\mathrm{d} W$、すなわち

$$F=+\frac{\partial W}{\partial x}\bigg|_{V}\tag{4.23}$$

となる。電池が供給したエネルギーの半分が静電エネルギーの増加に、残りの半分が力学的な仕事になる。

2つの式の符号は逆だが、同じ配置に対しては同じ力になる。コンデンサー1つで確かめる。容量が $C(x)$ のとき

$$-\frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\frac{Q^2}{2C}\Bigr)\bigg|_Q=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{d C}{d x}=\frac12V^2\frac{d C}{d x},\qquad \frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\frac12CV^2\Bigr)\bigg|_V=\frac12V^2\frac{d C}{d x}$$

で、両者は一致する。力は誘電体と導体の配置で決まり、電池がつながっているかどうかにはよらない。どちらの式を使うかは、計算の都合で選べばよい。

$$F=\frac12V^2\frac{d C}{d x}.\tag{4.24}$$

誘電体の中の力の密度と、小さな誘電体に働く力

(4.21) から、誘電率が場所によって変わる物質に働く力の密度を求める。自由電荷を固定したまま、物質を変位 $\delta\bm{s}(\bm{r})$ だけ動かすと、各点の誘電率が $\delta\varepsilon=-\delta\bm{s}\cdot\nabla\varepsilon$ だけ変わる（物質の密度は変わらないとする）。$W=\frac12\int D^2/\varepsilon\,\mathrm{d} V$ の変化は

$$\delta W=\int\frac{\bm{D}\cdot\delta\bm{D}}{\varepsilon}\,\mathrm{d} V-\frac12\int\frac{D^2}{\varepsilon^2}\delta\varepsilon\,\mathrm{d} V .$$

第1項は、自由電荷を固定しているので消える。

$$\int\bm{E}\cdot\delta\bm{D}\,\mathrm{d} V=\int\phi\,\nabla\cdot\delta\bm{D}\,\mathrm{d} V=\int\phi\,\delta\rho_{\mathrm f}\,\mathrm{d} V=0$$

残るのは第2項で

$$\delta W=-\frac12\int E^2\delta\varepsilon\,\mathrm{d} V=\frac12\int E^2\nabla\varepsilon\cdot\delta\bm{s}\,\mathrm{d} V$$

である。電荷を固定した場合の (4.22) と同じく、力の密度 $\bm{f}$ がする仕事 $\int\bm{f}\cdot\delta\bm{s}\,\mathrm{d} V$ は、エネルギーの減少に等しい。よって

$$\bm{f}=-\frac12E^2\nabla\varepsilon\tag{4.25}$$

を得る。力は誘電率が減る向きに働く。誘電体の表面では $\nabla\varepsilon$ が表面に垂直に集中し、誘電体の内側を向くので、表面には誘電体を真空の側へ引き出す向きの力が働く。

大きさが場の変化の長さより十分小さい誘電体（分極率 $\alpha$）に働く力は、もっと簡単に求まる。誘起された双極子 $\bm{p}=\alpha\bm{E}$ のエネルギーは、次の2つの和である。

• 外場の中の双極子のエネルギー $-\bm{p}\cdot\bm{E}=-\alpha E^2$。
• 分極を保つために蓄えたエネルギー $\frac12\alpha E^2$（上の ideabox）。

よって

$$U=-\frac12\alpha E^2,\qquad \bm{F}=-\nabla U=\frac12\alpha\nabla(E^2)\tag{4.26}$$

となる。分極率は正なので、小さな誘電体は電場の強い所へ引き寄せられる。こすった下敷きに紙片が引き寄せられるのはこの力による。

確認テスト

オリジナル

1. 4.4-1 電池につないだままの平行平板コンデンサーに誘電体の板を差し込む。静電エネルギーは増えるか減るか。電池から切り離してから差し込む場合はどうか。
2. 4.4-2 容量 $C_0=100\,\mathrm{pF}$ のコンデンサーに $Q=1.0\times10^{-8}\,\mathrm C$ を与えて電池から切り離す。その後、極板間を比誘電率 4.0 の誘電体で完全に満たす。はじめと終わりの静電エネルギー、電圧、電場が誘電体にした仕事を求めよ。
3. 4.4-3 点電荷 $q$ から距離 $r$ の所に、小さな誘電体球がある。球の半径は $b\ (\ll r)$、比誘電率は $\varepsilon_{\mathrm r}$ である。球に働く力を求めよ。球の分極率には例題 4.4 の結果を使ってよい。
4. 4.4-4 導体 $i=1,2,\dots$ と、自由電荷を持たない線形誘電体からなる系を考える。各導体の電荷を $Q_i$、電位を $V_i$ とする。次の式を示せ。

$$W=\frac12\int\bm{E}\cdot\bm{D}\,\mathrm{d} V=\frac12\sum_iQ_iV_i$$