この章のまとめ

電磁気学入門　第4章 §4.5

誘電体に電場をかけると、原子や分子の中で正負の電荷がずれ（電子分極）、また永久双極子が電場の向きにそろい（配向分極）、物質は単位体積あたり $\bm{P}$ の双極子モーメントを持つ。分極した物質の電場は、表面に $\sigma_{\mathrm b}=\bm{P}\cdot\bm{n}$、内部に $\rho_{\mathrm b}=-\nabla\cdot\bm{P}$ の分極電荷を置いた電場に等しい（定理 4.2）。

この分極電荷を Gauss の法則の左辺へ繰り込んで電束密度 $\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}$ を定義すると、$\nabla\cdot\bm{D}=\rho_{\mathrm f}$ の源には自由電荷だけが残る（定理 4.4）。線形な物質では $\bm{D}=\varepsilon\bm{E}$ と書ける。一様な誘電体の中では、真空の式の $\varepsilon_0$ を $\varepsilon$ に置き換えるだけで電場が求まる。分子の分極率と比誘電率は、局所場 $\bm{E}+\bm{P}/(3\varepsilon_0)$ を通じて Clausius–Mossotti の式で結ばれる。

誘電体の境界では、$\nabla\times\bm{E}=\bm{0}$ から電場の接線成分が、$\nabla\cdot\bm{D}=\rho_{\mathrm f}$ から電束密度の法線成分が連続になる（定理 4.5）。この2条件と各領域の Laplace 方程式で、境界値問題は第3章と同じ方法で解ける。一様な電場の中の誘電体球の内部では電場が$3/(\varepsilon_{\mathrm r}+2)$ 倍に弱まり、誘電体の平面の前の点電荷は大きさ $(\varepsilon_{\mathrm r}-1)/(\varepsilon_{\mathrm r}+1)$ 倍の鏡像電荷に引かれる。どちらも $\varepsilon_{\mathrm r}\to\infty$ で導体の結果に戻る。

エネルギーは自由電荷を運び込む仕事として定義し、線形な物質では $\frac12\int\bm{E}\cdot\bm{D}\,\mathrm{d} V$ になる（定理 4.6）。このうち $\frac12\bm{E}\cdot\bm{P}$ は分子の分極に蓄えたエネルギーである。

誘電体に働く力は仮想仕事の方法で求める。電荷一定なら $-\partial W/\partial x$、電位一定なら $+\partial W/\partial x$ である。どちらも $\frac12V^2\,\mathrm{d} C/\mathrm{d} x$ という同じ値になる。力の密度は $-\frac12E^2\nabla\varepsilon$ で、誘電体は電場の強い所へ引き込まれる。

第5章からは電流と磁場に進む。第6章の磁性体では、この章と同じ構造が現れる。量の対応は次のとおりである。

• 磁化 $\bm{M}$ が分極 $\bm{P}$ に対応する。
• 磁化電流 $\nabla\times\bm{M}$ が分極電荷 $-\nabla\cdot\bm{P}$ に対応する。
• 磁場 $\bm{H}$ が電束密度 $\bm{D}$ に対応する。

境界条件も同じ導き方で得られる。第8章では $\nabla\cdot\bm{D}=\rho_{\mathrm f}$ が物質中の Maxwell 方程式の1つになり、分極が時間変化するときの分極電流 $\partial\bm{P}/\partial t$ が加わる。第9章では、比誘電率が振動数に依存する $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)$ に広がり、屈折率と分散を決める。