磁場のエネルギー

電磁気学入門　第7章 §7.3　★★★ 電流を流すには逆起電力に逆らう仕事が要り、その仕事は磁場にエネルギー密度 $B^2/(2\mu_0)$ として蓄えられる

電流を流すのに要する仕事

自己インダクタンス $L$ の回路に、電流を 0 から $I$ まで増やすことを考える。電流が変化している間、回路には逆起電力 $-L\,\mathrm{d} I/\mathrm{d} t$ が生じる。電流を増やし続けるには、外部の電源がこの逆起電力に逆らって電荷を押し進める必要がある。電源のする仕事率は、抵抗での Joule 熱の分を除いて

$$P=-\mathcal EI=LI\frac{d I}{d t}$$

である。電流を 0 から $I$ まで増やす間の仕事は

$$W=\int_0^t LI\frac{d I}{d t}\,\mathrm{d} t=\int_0^ILI'\,\mathrm{d} I'=\frac12LI^2 .\tag{7.20}$$

この仕事は、熱にはならずに回路に蓄えられる。電流を減らすときには、逆起電力が電流を保つ向きに働き、同じ量の仕事を回路の外へ返すからである（§7.4 の RL 回路で、蓄えたエネルギーが抵抗の熱になることを確かめる）。

複数の回路があるときは、各回路の電流 $I_i$ を同時に増やしていく。回路 $i$ を貫く磁束を

$$\Phi_i=\sum_jL_{ij}I_j\qquad(L_{ii}=L_i,\quad L_{ij}=M_{ij}\ (i\ne j))$$

と書く。電源が回路 $i$ にする仕事率は $I_i\,\mathrm{d}\Phi_i/\mathrm{d} t$ なので、全体の仕事は

$$\mathrm{d} W=\sum_iI_i\,\mathrm{d}\Phi_i=\sum_{i,j}I_iL_{ij}\,\mathrm{d} I_j .$$

この仕事が最後の電流の値だけで決まり、途中の増やし方によらないためには、$\mathrm{d} W$ が完全微分でなければならない。その条件は

$$\frac{\partial }{\partial I_k}\Bigl(\sum_iI_iL_{ij}\Bigr)=\frac{\partial }{\partial I_j}\Bigl(\sum_iI_iL_{ik}\Bigr),\qquad\text{すなわち}\quad L_{kj}=L_{jk}$$

である。増やし方によって仕事が違えば、ある道で電流を増やして別の道で減らすことで、エネルギーを取り出し続けられることになる。こうして、相互インダクタンスの対称性 $M_{ij}=M_{ji}$ がエネルギーの保存からも導かれる。

対称であれば、すべての電流を同じ割合で増やす道で積分すればよい。途中の電流を $\lambda I_j$（$0\le\lambda\le1$）とすると

$$W=\sum_{i,j}L_{ij}I_iI_j\int_0^1\lambda\,\mathrm{d}\lambda=\frac12\sum_{i,j}L_{ij}I_iI_j=\frac12\sum_iI_i\Phi_i .\tag{7.21}$$

2つの回路なら $W=\frac12L_1I_1^2+MI_1I_2+\frac12L_2I_2^2$ である。

磁場のエネルギー密度

(7.21) を場の言葉に書き直す。$\Phi_i=\oint_{C_i}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ なので

$$W=\frac12\sum_iI_i\oint_{C_i}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$$

である。細い導線の $I\,\mathrm{d}\bm{l}$ を、一般の電流分布の $\bm{J}\,\mathrm{d} V$ に置き換えると

$$W=\frac12\int\bm{J}\cdot\bm{A}\,\mathrm{d} V .\tag{7.22}$$

これは静電エネルギーの式 $W=\frac12\int\rho\phi\,\mathrm{d} V$（第2章 §2.4）と同じ形をしている。

証明

Ampère の法則 $\bm{J}=\nabla\times\bm{B}/\mu_0$ を (7.22) に入れる。ベクトルの恒等式（第1章 §1.1）

$$\nabla\cdot(\bm{A}\times\bm{B})=\bm{B}\cdot(\nabla\times\bm{A})-\bm{A}\cdot(\nabla\times\bm{B})$$

を使うと

$$\bm{A}\cdot(\nabla\times\bm{B})=\bm{B}\cdot(\nabla\times\bm{A})-\nabla\cdot(\bm{A}\times\bm{B})=B^2-\nabla\cdot(\bm{A}\times\bm{B}).$$

したがって、半径 $r_0$ の大きな球 $V$ の上で積分し、発散定理を使うと

$$W=\frac{1}{2\mu_0}\int_VB^2\,\mathrm{d} V-\frac{1}{2\mu_0}\oint_{\partial V}(\bm{A}\times\bm{B})\cdot\mathrm{d}\bm{S} .$$

電流が有限の領域にあるとき、遠方では $\bm{A}$ は双極子の項 $\mathcal{O}(r^{-2})$ から始まる。$\bm{B}$ は $\mathcal{O}(r^{-3})$ から始まる（第5章 §5.5）。球面の面積は $4\pi r_0^2$ なので、表面積分は

$$\mathcal{O}(r_0^{-2}\cdot r_0^{-3}\cdot r_0^2)=\mathcal{O}(r_0^{-3})$$

で、$r_0\to\infty$ で 0 になる。球の外では $\bm{J}=\bm{0}$ なので、(7.22) の積分は球の上の積分に等しい。$r_0\to\infty$ として (7.23) を得る。

電場のエネルギー密度 $\varepsilon_0E^2/2$（第2章 §2.4）と合わせて、電磁場は単位体積あたり

$$u=\frac{\varepsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2$$

のエネルギーを持つ。時間変化する場でもこの式が成り立つことは、第8章 §8.3 の Poynting の定理で示す。

インダクタンスの正値性と、エネルギーによる定義

(7.23) の右辺は、磁場が 0 でない限り正である。このことから2つの結果が出る。

1. 自己インダクタンスは正である（$L=2W/I^2>0$）。
2. 2つの回路のエネルギー

$$W=\frac12L_1I_1^2+MI_1I_2+\frac12L_2I_2^2$$

は、すべての電流の組で非負である（磁場が 0 になる場合を含めて）。したがって、この2次形式の判別式は正にならない。$I_2\ne0$ として $x=I_1/I_2$ とおく。すべての実数 $x$ で

$$\frac12L_1x^2+Mx+\frac12L_2\ge0$$

が成り立つから

$$M^2-L_1L_2\le0$$

となり、(7.19) が示された。

細い導線では Neumann の公式で自己インダクタンスが発散したが、太さのある導線でも、磁場のエネルギーは有限である。そこで、一般の回路の自己インダクタンスを

$$L=\frac{2W}{I^2}=\frac{1}{\mu_0I^2}\int B^2\,\mathrm{d} V\tag{7.24}$$

で定義する。細い導線の場合や、磁場が導線の外にしかない場合には、この定義は磁束による定義 (7.15) と一致する。

エネルギーから力を求める

第4章 §4.4 で電荷一定・電位一定の2通りの仮想仕事から誘電体に働く力を求めたのと同じ方法を、磁場の力に使う。回路の一部を $\mathrm{d} x$ だけ動かす。そのとき磁場の力 $F$ がする仕事は $F\,\mathrm{d} x$ である。

1. 磁束が一定の場合。電源をつながず、抵抗の無い回路がこれに当たる。起電力 $-\mathrm{d}\Phi_i/\mathrm{d} t$ が 0 なので、電源は仕事をしない。磁場の力の仕事は磁場のエネルギーの減少で賄われ、$F\,\mathrm{d} x=-\mathrm{d} W$ となる。すなわち

$$F=-\Bigl(\frac{\partial W}{\partial x}\Bigr)_\Phi .$$ 2. 電流が一定の場合。回路を動かすとインダクタンスが変わり、磁束が $\mathrm{d}\Phi_i=\sum_j\mathrm{d} L_{ij}\,I_j$ だけ変わる。電流を一定に保つため、電源は次の仕事をする。

$$\sum_iI_i\,\mathrm{d}\Phi_i=\sum_{i,j}I_iI_j\,\mathrm{d} L_{ij}=2\,\mathrm{d} W .$$

このうち $\mathrm{d} W$ が磁場のエネルギーの増加になり、残りの $\mathrm{d} W$ が力の仕事になる。したがって

$$F=+\Bigl(\frac{\partial W}{\partial x}\Bigr)_I=\frac12\sum_{i,j}I_iI_j\frac{\partial L_{ij}}{\partial x},\qquad \text{2つの回路の間の力}\quad F=I_1I_2\frac{\partial M}{\partial x}.\tag{7.25}$$

2通りの計算は同じ力を表す（第4章 §4.4 の $Q$ 一定と $V$ 一定の関係と同じ）。

この方法で、長いソレノイドの巻線に働く力を求める。半径 $a$、長さ $l$ のソレノイドの磁場のエネルギーは

$$W=\frac{B^2}{2\mu_0}\pi a^2l$$

である。電流を一定に保つと、$B=\mu_0nI$ は半径によらない。半径を $\mathrm{d} a$ だけ広げると、磁場のある体積だけが $2\pi al\,\mathrm{d} a$ 増える。(7.25) から、巻線全体が外向きに受ける力は

$$\frac{\partial W}{\partial a}=\frac{B^2}{2\mu_0}\,2\pi al$$

である。これを巻線の面積 $2\pi al$ で割ると、巻線は単位面積あたり

$$p_{\mathrm m}=\frac{B^2}{2\mu_0}\tag{7.26}$$

の圧力を、磁場のある側から磁場の無い側へ向かって受ける。これを磁気圧と呼ぶ。磁気圧は磁場のエネルギー密度と同じ大きさで、静電場で導体の表面に働く力 $\varepsilon_0E^2/2$（第3章 §3.1）に対応する。

確認テスト

オリジナル

1. 7.3-1 電場 $1.0\times10^{6}\,\mathrm{V/m}$ のエネルギー密度と、磁場 $1.0\,\mathrm T$ のエネルギー密度を求めて比べよ。
2. 7.3-2 例題 7.4 のソレノイドに $2.0\,\mathrm A$ を流す。そのときの磁場のエネルギーを、$\frac12LI^2$ と $\frac{B^2}{2\mu_0}\times$（体積）の2通りで求めよ。
3. 7.3-3 確認テスト 7.2-4 の2つのコイルに電流 $I_1$、$I_2$ を同じ向きに流す。(7.25) を使って、コイル2に働く $z$ 方向の力を求め、引力か斥力かを答えよ。磁気双極子 $m=\pi a^2I_2$ に働く力 $m\,\partial B_z/\partial z$ と一致することも確かめよ。
4. 7.3-4 自己インダクタンスが $L_1$ と $L_2$ の2つのコイルを直列につなぐ。相互インダクタンスは $M$ である。磁束が強め合うようにつないだときと、打ち消し合うようにつないだときの合成インダクタンスを求め、後者が負にならないことを (7.19) から示せ。