回路の過渡現象（RL・LC・RLC）

電磁気学入門　第7章 §7.4　★★★ インダクタンスを含む回路は1階・2階の線形微分方程式に従い、時定数と減衰振動で振る舞いが決まる

回路の方程式

電池・抵抗・コイルを直列につないだ回路を考える。電池の起電力を $V_0$、抵抗を $R$ とする。コイルの自己インダクタンスは $L$ である。

回路の大きさは、電流の変化が回路を伝わる時間が無視できる程度に小さいとし、回路全体を同じ電流 $I(t)$ が流れるとする（この近似を準定常近似と呼ぶ）。磁束はほとんどコイルの中にあり、回路を貫く磁束は $LI$ である。

電荷に働く力のうち、電池の中の化学的な力と電場 $\bm{E}$ を分けて、Faraday の法則を回路に沿って書くと

$$\oint\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-L\frac{d I}{d t}.$$

左辺を回路の部分ごとに分ける。

• 抵抗の中では $\int\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=RI$ である。
• 電池の中では、化学的な力が電場に逆らって電荷を押し上げている。そのため、電池を負極から正極へたどる積分は $-V_0$ になる。
• コイルの導線の抵抗を無視すると、導線の中では電荷に働く力の合計が 0 でなければならず、$\bm{E}=\bm{0}$ である。

したがって $RI-V_0=-L\,\mathrm{d} I/\mathrm{d} t$、すなわち

$$L\frac{d I}{d t}+RI=V_0 .\tag{7.27}$$

さらにコンデンサー（容量 $C$、電荷 $q$）を直列に加える。極板の間で $\int\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=q/C$ が加わるので、$I=\mathrm{d} q/\mathrm{d} t$ を使って

$$L\ddot q+R\dot q+\frac qC=V_0 .\tag{7.28}$$

RL 回路

(7.27) で、時刻 $t=0$ にスイッチを入れて $I(0)=0$ から始める。$\tau=L/R$ とおく。同次方程式の解は $\mathrm{e}^{-t/\tau}$、特解は $V_0/R$ なので

$$I(t)=\frac{V_0}{R}\bigl(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\bigr),\qquad \tau=\frac LR .\tag{7.29}$$

$\tau$ を時定数と呼ぶ。電流は瞬時には立ち上がらず、時間 $\tau$ で最終値の $1-\mathrm{e}^{-1}=63\,\%$ に達する（図 7.2）。始めの傾き $V_0/L$ で直線を引くと、最終値に達するのはちょうど $t=\tau$ である。自己インダクタンスが電流の変化を妨げるので、$L$ が大きいほど立ち上がりが遅い。

電流 $I_0$ が流れている状態で、電池を外して回路を抵抗だけで閉じる。$L\,\mathrm{d} I/\mathrm{d} t+RI=0$ から、電流は次のように減る。

$$I(t)=I_0\mathrm{e}^{-t/\tau}.$$

抵抗で発生する熱の総量は

$$\int_0^\infty RI_0^2\mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d} t=RI_0^2\frac{\tau}{2}=\frac12LI_0^2$$

で、§7.3 でコイルに蓄えたエネルギーにちょうど等しい。抵抗を入れずに回路を切ると、$\mathrm{d} I/\mathrm{d} t$ が非常に大きくなり、スイッチの接点の間に高い電圧が生じて火花が飛ぶ。コイルを含む回路を切るときに、コイルと並列にダイオードや抵抗を入れて電流の逃げ道を用意するのはこのためである。

LC 回路

抵抗の無い回路で、電荷 $q_0$ を蓄えたコンデンサーをコイルにつなぐ。(7.28) で $R=0$、$V_0=0$ とすると

$$\ddot q+\omega_0^2q=0,\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{7.30}$$

で、ばねにつながれたおもりと同じ単振動の方程式になる。初期条件 $q(0)=q_0$、$I(0)=0$ の解は

$$q=q_0\cos\omega_0t,\qquad I=\dot q=-\omega_0q_0\sin\omega_0t$$

である。(7.30) に $\dot q$ を掛けて積分すると

$$\frac{d }{d t}\Bigl(\frac12L\dot q^2+\frac{q^2}{2C}\Bigr)=0$$

となる。コイルの磁場のエネルギー $\frac12LI^2$ とコンデンサーの電場のエネルギー $q^2/(2C)$ の和が保存する。エネルギーは電場と磁場の間を周期 $\pi/\omega_0$ で行き来する。エネルギーは $q^2$ と $I^2$ で書けるので、周期は電荷の振動の半分になる。

力学との対応は次の表のとおりである。自己インダクタンスを「電流の慣性」と呼んだ意味がここで具体的になる。

RLC 回路と減衰振動

抵抗を加え、電源の無い (7.28)

$$\ddot q+2\gamma\dot q+\omega_0^2q=0,\qquad \gamma=\frac{R}{2L}$$

を解く。$q=\mathrm{e}^{\lambda t}$ とおくと、特性方程式とその根は

$$\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0,\qquad \lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$$

である。初期条件を $q(0)=q_0$、$\dot q(0)=0$ とする。解は根の性質で3つに分かれる。

減衰振動（$\gamma<\omega_0$）。$\omega_{\mathrm d}=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ とおくと $\lambda=-\gamma\pm\mathrm{i}\omega_{\mathrm d}$ で、実数の解は

$$q=\mathrm{e}^{-\gamma t}(A\cos\omega_{\mathrm d}t+B\sin\omega_{\mathrm d}t)$$

である。初期条件から係数が決まる。

$$\begin{aligned}q(0)&=A=q_0, &&\\ \dot q(0)&=-\gamma A+\omega_{\mathrm d}B=0 &&\text{より}\quad B=\frac{\gamma q_0}{\omega_{\mathrm d}}.\end{aligned}$$

したがって

$$q(t)=q_0\,\mathrm{e}^{-\gamma t}\Bigl(\cos\omega_{\mathrm d}t+\frac{\gamma}{\omega_{\mathrm d}}\sin\omega_{\mathrm d}t\Bigr).\tag{7.31}$$

臨界減衰（$\gamma=\omega_0$）。特性方程式は重根 $\lambda=-\gamma$ を持ち、一般解は $(A+Bt)\mathrm{e}^{-\gamma t}$ である。初期条件から $A=q_0$、$B=\gamma q_0$ となる（確認テスト 7.4-3）。

$$q(t)=q_0(1+\gamma t)\mathrm{e}^{-\gamma t}.$$

過減衰（$\gamma>\omega_0$）。2つの負の実根 $\lambda_\pm=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$ を持ち、初期条件を満たす解は

$$q(t)=q_0\,\frac{\lambda_+\mathrm{e}^{\lambda_-t}-\lambda_-\mathrm{e}^{\lambda_+t}}{\lambda_+-\lambda_-}\tag{7.32}$$

である。$t=0$ で分子は $\lambda_+-\lambda_-$ になる。時間微分の分子は $\lambda_+\lambda_--\lambda_-\lambda_+=0$ になる。

$\gamma\gg\omega_0$ では、遅い方の根の大きさは $\omega_0^2/(2\gamma)$ 程度に小さくなる。そのため、抵抗を大きくしすぎると、かえってゆっくり 0 に近づく。同じ $\omega_0$ で比べると、振動せずに最も速く 0 に近づくのは臨界減衰の場合である（図 7.3）。

エネルギーで見ると、

$$E=\frac12L\dot q^2+\frac{q^2}{2C}$$

は

$$\frac{d}{d E}t=\dot q\Bigl(L\ddot q+\frac qC\Bigr)=-R\dot q^2=-RI^2$$

に従って減る。減る分は抵抗の Joule 熱である。

減衰が弱い（$\gamma\ll\omega_0$）ときは、1周期の間はほぼ単振動である。単振動では $\frac12L\langle I^2\rangle=\frac12E$ なので、熱の1周期の平均は

$$\langle RI^2\rangle=R\cdot\frac{E}{L}$$

である。$\gamma=R/(2L)$ を使うと、エネルギーは次のように減衰する。

$$\frac{d}{d E}t\simeq-2\gamma E,\qquad E\propto\mathrm{e}^{-2\gamma t}.$$

$$\mathcal Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}=\frac{\omega_0L}{R}=\frac1R\sqrt{\frac LC}\tag{7.33}$$

を回路の Q 値と呼ぶ。1周期 $2\pi/\omega_0$ の間に失うエネルギーの割合は

$$2\gamma\cdot\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\mathcal Q}$$

である。そのため Q 値は「エネルギーがほぼ $1/\mathrm{e}$ になるまでに振動する回数の $2\pi$ 倍」の目安になる（確認テスト 7.4-4）。ラジオの同調回路のように特定の周波数だけを取り出したい回路では、$\mathcal Q$ を大きくする。

確認テスト

オリジナル

1. 7.4-1 $L/R$ が時間の次元を持ち、$\sqrt{LC}$ も時間の次元を持つことを、単位から確かめよ。
2. 7.4-2 $C=10\,\mu\mathrm F$ のコンデンサーに $q_0=100\,\mu\mathrm C$ を蓄える。これを $L=25\,\mathrm{mH}$ のコイルにつなぐ（抵抗は無視する）。角振動数、電流の最大値、全エネルギーを求め、電流が最大の瞬間にエネルギーがすべて磁場にあることを確かめよ。
3. 7.4-3 臨界減衰 $\gamma=\omega_0$ のときを考える。初期条件 $q(0)=q_0$、$\dot q(0)=0$ を満たす解が次の形であることを導け。

$$q(t)=q_0(1+\gamma t)\mathrm{e}^{-\gamma t}$$

また、減衰振動の解 (7.31) で $\omega_{\mathrm d}\to0$ とした極限がこれに一致することを示せ。4. 7.4-4 減衰振動 (7.31) で、1周期 $2\pi/\omega_{\mathrm d}$ だけ離れた2つの時刻のエネルギーの比が $\mathrm{e}^{-4\pi\gamma/\omega_{\mathrm d}}$ になることを示せ。さらに、$\gamma\ll\omega_0$ では1周期に失う割合が $2\pi/\mathcal Q$ になることを導け。5. 7.4-5 2つの回路があり、インダクタンスは次のとおりである。

$$L_1,\ L_2\ (\text{自己インダクタンス}),\qquad M\ (\text{相互インダクタンス}).$$

回路2は抵抗 $R_2$ だけで閉じている。回路1の電流を $I_1=I_0\cos\omega t$ と与えたとき、十分時間がたったあとの回路2の電流の振幅を求めよ。さらに、$\omega L_2\gg R_2$ の極限で、回路2の磁束がほとんど変化しなくなることを示せ。