この章のまとめ

電磁気学入門　第7章 §7.5

(1) Faraday の法則

回路に電流を流し続ける働きを、単位電荷を回路に沿って一周させる力の仕事、すなわち起電力 $\mathcal E=\oint\bm{f}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ で表した。回路を貫く磁束 $\Phi$ は $\nabla\cdot\bm{B}=0$ によって曲面の選び方によらない。ベクトルポテンシャルの線積分 $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ とも書ける。

• 静磁場の中で導体が動くと、電荷に働く $\bm{v}\times\bm{B}$ の力によって運動起電力が生じる。その値は磁束の減少率 $-\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d} t$ に等しい（命題 7.2）。
• 静止した回路でも、磁場が時間変化すれば同じ起電力が現れる。それは電場が $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ に従うことを意味する（定理 7.3）。
• 2つの場合をまとめたのが磁束則（定理 7.4）である。起電力の原因の割り振りは観測する座標系によって変わるが、起電力そのものは変わらない。

電場はもはや電位の勾配だけでは書けず、次の形になる。

$$\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}.$$

(2) インダクタンスと磁場のエネルギー

回路の電流とそれが回路を貫く磁束は比例し、比例係数として自己インダクタンス $L$ と相互インダクタンス $M$ を定義した。Neumann の公式（定理 7.5）から $M_{12}=M_{21}$ が従い、同じ対称性はエネルギーの保存からも導かれた。

電流を流すには逆起電力に逆らう仕事が要る。その仕事 $\frac12\sum L_{ij}I_iI_j$ は、磁場にエネルギー密度 $B^2/(2\mu_0)$ で蓄えられる（定理 7.6）。エネルギーが正であることから $L>0$ と $M^2\le L_1L_2$ が従う。エネルギーを使えば、太さのある導線の自己インダクタンスも定義できる。

仮想仕事の方法で磁場の力が求まる。電流一定なら $F=+\partial W/\partial x$、磁束一定なら $F=-\partial W/\partial x$ である。磁場の境界には磁気圧 $B^2/(2\mu_0)$ が働く。

(3) 回路の過渡現象

準定常近似の回路では、Faraday の法則を回路に沿って書くと次の方程式になる。

$$L\ddot q+R\dot q+\frac qC=V_0 .$$

• RL 回路の電流は時定数 $L/R$ で立ち上がる。
• LC 回路では、電場と磁場のエネルギーが角振動数 $1/\sqrt{LC}$ で行き来する。
• RLC 回路は、$\gamma=R/(2L)$ と $\omega_0$ の大小で減衰振動・臨界減衰・過減衰に分かれる。エネルギーは抵抗の Joule 熱として失われる。

(4) 次の章へ

第8章では、Ampère の法則に変位電流を加えて Maxwell 方程式を完成させる。この章の $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ はその1本になる。$B^2/(2\mu_0)$ は、電磁場のエネルギー保存則（Poynting の定理）の磁場の部分になる。$\bm{E}=-\nabla\phi-\partial\bm{A}/\partial t$ は第8章 §8.2 のゲージの議論の出発点である。

第9章では、Faraday の法則と変位電流を含む Ampère の法則を組み合わせて電磁波の波動方程式を導く。導体の中では、渦電流によって電磁波が減衰する（表皮効果）。第10章では、この章で見た「動く磁石と動く導体」の起電力の一致を、電磁場の Lorentz 変換として理解し直す。