境界での反射と屈折

電磁気学入門　第9章 §9.3　★★★ 境界条件から反射と屈折の法則と Fresnel の式を導き、Brewster 角と全反射を説明する

反射の法則と Snell の法則

平面 $z=0$ を境に、2つの物質が接している。

• $z<0$ には屈折率 $n_1$ の物質1がある。
• $z>0$ には屈折率 $n_2$ の物質2がある。

どちらも自由電荷・自由電流の無い線形な絶縁体で、境界にも面電荷や面電流は無いとする。物質1の側から平面波（入射波、波数ベクトル $\bm{k}_{\mathrm i}$）が当たると、2つの波が生じる。物質1に戻る反射波（$\bm{k}_{\mathrm r}$）と、物質2に入る透過波（$\bm{k}_{\mathrm t}$）である。3つの波の場を

$$\bm{E}_{\mathrm i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm i}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm i}t)},\qquad \bm{E}_{\mathrm r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm r}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm r}t)},\qquad \bm{E}_{\mathrm t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm t}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm t}t)}$$

と書く。境界条件 (9.2) は、境界 $z=0$ の上のすべての点とすべての時刻で成り立つ。例えば接線成分については

$$\Bigl[\bm{E}_{\mathrm i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm i}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm i}t)}+\bm{E}_{\mathrm r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm r}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm r}t)}\Bigr]_{\mathrm{接線}} =\Bigl[\bm{E}_{\mathrm t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}_{\mathrm t}\cdot\bm{r}-\omega_{\mathrm t}t)}\Bigr]_{\mathrm{接線}}$$

の形をしている。指数関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+by-\omega t)}$ は、指数 $(a,b,\omega)$ が異なれば1次独立である。したがってこの式が $x,y,t$ について恒等的に成り立つためには、3つの指数が境界の上で一致しなければならない。すなわち

$$\omega_{\mathrm i}=\omega_{\mathrm r}=\omega_{\mathrm t}=\omega,\qquad k_{\mathrm i,x}=k_{\mathrm r,x}=k_{\mathrm t,x},\qquad k_{\mathrm i,y}=k_{\mathrm r,y}=k_{\mathrm t,y}\tag{9.31}$$

である。座標軸を、入射波の波数ベクトルが $xz$ 面にあるようにとる（$k_{\mathrm i,y}=0$）。$\bm{k}_{\mathrm i}$ と法線 $\hat{\bm{z}}$ を含むこの面を入射面と呼ぶ。(9.31) から、3つの波数ベクトルはすべて入射面にある。

入射角・反射角・屈折角を法線から測り、添字 i・r・t をつけて $\theta_{\mathrm i}$ のように書く。波数の大きさは

$$\left\vert \bm{k}_{\mathrm i}\right\vert =\left\vert \bm{k}_{\mathrm r}\right\vert =\frac{n_1\omega}{c},\qquad \left\vert \bm{k}_{\mathrm t}\right\vert =\frac{n_2\omega}{c}$$

なので、$x$ 成分の一致は次を与える。

$$n_1\sin\theta_{\mathrm i}=n_1\sin\theta_{\mathrm r}=n_2\sin\theta_{\mathrm t}$$

この2つの法則は、境界条件の具体的な形を使わず、「境界の上で位相がそろう」ことだけから出た。音波や量子力学の波でも同じ形になるのはこのためである。これに対し、反射と透過の振幅の比は境界条件の具体的な形、つまり電磁場の性質から決まる。

以下、3つの波数ベクトルを次のようにとる。

$$\bm{k}_{\mathrm i}=k_1(\sin\theta_{\mathrm i},0,\cos\theta_{\mathrm i}),\qquad \bm{k}_{\mathrm r}=k_1(\sin\theta_{\mathrm i},0,-\cos\theta_{\mathrm i}),\qquad \bm{k}_{\mathrm t}=k_2(\sin\theta_{\mathrm t},0,\cos\theta_{\mathrm t})$$

入射波の電場は、入射面に垂直な成分（$y$ 成分）と入射面内の成分に分けられる。前者を s 偏光（TE 偏光）、後者を p 偏光（TM 偏光）と呼ぶ。境界条件は $y$ の向きの鏡映について対称なので、2つの偏光は混ざらず、別々に扱える。

Fresnel の式

各波の磁場は (9.18) から $\bm{H}=Z^{-1}\hat{\bm{k}}\times\bm{E}$ である。2つの物質のインピーダンスを

$$Z_1=\sqrt{\mu_1/\varepsilon_1},\qquad Z_2=\sqrt{\mu_2/\varepsilon_2}$$

とする。境界に電荷も電流も無いので、(9.2) の接線成分の条件は次の4成分が連続であることになる。

$$E_x,\qquad E_y,\qquad H_x,\qquad H_y$$

法線成分の条件はこれから従う（確認テスト 9.3-2 の解答で触れる）。

s 偏光.

3つの波の電場をすべて $\bm{E}=E\hat{\bm{y}}$ の形にとる。磁場の向きを決める $\hat{\bm{k}}\times\hat{\bm{y}}$ は

$$(-\cos\theta,0,\sin\theta)\ \text{（入射波・透過波）},\qquad (\cos\theta_{\mathrm i},0,\sin\theta_{\mathrm i})\ \text{（反射波）}$$

である。したがって $E_y$ と $H_x$ の連続から

$$E_{\mathrm i}+E_{\mathrm r}=E_{\mathrm t},\qquad \frac{\cos\theta_{\mathrm i}}{Z_1}(E_{\mathrm i}-E_{\mathrm r})=\frac{\cos\theta_{\mathrm t}}{Z_2}E_{\mathrm t}$$

を得る。反射係数 $r_{\mathrm s}=E_{\mathrm r}/E_{\mathrm i}$ と透過係数 $t_{\mathrm s}=E_{\mathrm t}/E_{\mathrm i}$ を求める。第1式を第2式に入れて解くと

$$r_{\mathrm s}=\frac{Z_1^{-1}\cos\theta_{\mathrm i}-Z_2^{-1}\cos\theta_{\mathrm t}}{Z_1^{-1}\cos\theta_{\mathrm i}+Z_2^{-1}\cos\theta_{\mathrm t}},\qquad t_{\mathrm s}=1+r_{\mathrm s}$$

となる。

p 偏光.

磁場が入射面に垂直になるので、3つの波の磁場をすべて $\bm{H}=H\hat{\bm{y}}$ の形にとる。電場は $\bm{E}=Z\bm{H}\times\hat{\bm{k}}$ で定める。複素振幅 $E=ZH$ を p 偏光の電場の振幅と呼ぶ。電場の向きを決める $\hat{\bm{y}}\times\hat{\bm{k}}$ は

$$\begin{aligned}&(\cos\theta_{\mathrm i},0,-\sin\theta_{\mathrm i}) &&\text{（入射波）}\\ &(-\cos\theta_{\mathrm i},0,-\sin\theta_{\mathrm i}) &&\text{（反射波）}\\ &(\cos\theta_{\mathrm t},0,-\sin\theta_{\mathrm t}) &&\text{（透過波）}\end{aligned}$$

である。したがって $H_y$ と $E_x$ の連続から

$$\frac{E_{\mathrm i}+E_{\mathrm r}}{Z_1}=\frac{E_{\mathrm t}}{Z_2},\qquad \cos\theta_{\mathrm i}(E_{\mathrm i}-E_{\mathrm r})=\cos\theta_{\mathrm t}E_{\mathrm t}$$

を得る。これを解くと

$$r_{\mathrm p}=\frac{Z_1\cos\theta_{\mathrm i}-Z_2\cos\theta_{\mathrm t}}{Z_1\cos\theta_{\mathrm i}+Z_2\cos\theta_{\mathrm t}},\qquad t_{\mathrm p}=\frac{Z_2}{Z_1}(1+r_{\mathrm p})$$

となる。

非磁性の物質（$\mu_1=\mu_2=\mu_0$）では $Z_j=Z_0/n_j$ である。分母と分子に $Z_0^{-1}$ や $n_1n_2/Z_0$ を掛けて整理すると、次の形になる。

証明

1. s 偏光：上の $r_{\mathrm s}$ に $Z_j^{-1}=n_j/Z_0$ を入れ、分母と分子の共通因子を約せばよい。$t_{\mathrm s}=1+r_{\mathrm s}$ を通分すると (9.33) の第2式になる。
2. p 偏光：$r_{\mathrm p}$ の分母と分子に $n_1n_2/Z_0$ を掛けると、各項は次のようになる。

$$Z_1\cos\theta_{\mathrm i}\cdot\frac{n_1n_2}{Z_0}=n_2\cos\theta_{\mathrm i},\qquad Z_2\cos\theta_{\mathrm t}\cdot\frac{n_1n_2}{Z_0}=n_1\cos\theta_{\mathrm t}$$

$t_{\mathrm p}=(n_1/n_2)(1+r_{\mathrm p})$ を通分すると

$$t_{\mathrm p}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{2n_2\cos\theta_{\mathrm i}}{n_2\cos\theta_{\mathrm i}+n_1\cos\theta_{\mathrm t}}$$

となり、(9.34) の第2式を得る。

垂直入射（$\theta_{\mathrm i}=\theta_{\mathrm t}=0$）では

$$r_{\mathrm s}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\qquad r_{\mathrm p}=\frac{n_2-n_1}{n_1+n_2}\tag{9.35}$$

となる。

反射率と透過率

エネルギーの割合を求める。境界の面積 $A$ を通って単位時間に流れるエネルギーは、Poynting ベクトルの $z$ 成分に面積を掛けたものである。入射波・反射波・透過波の強度は、それぞれ $\left\vert E\right\vert ^2/(2Z)$ である。$z$ 成分にするには、それぞれ次の因子を掛ける。

$$\cos\theta_{\mathrm i}\ \text{（入射波）},\qquad \cos\theta_{\mathrm i}\ \text{（反射波）},\qquad \cos\theta_{\mathrm t}\ \text{（透過波）}$$

したがって反射率 $R$ と透過率 $T$ は

$$R=\left\vert r\right\vert ^2,\qquad T=\frac{Z_1\cos\theta_{\mathrm t}}{Z_2\cos\theta_{\mathrm i}}\left\vert t\right\vert ^2=\frac{n_2\cos\theta_{\mathrm t}}{n_1\cos\theta_{\mathrm i}}\left\vert t\right\vert ^2\tag{9.36}$$

である（s と p で同じ形）。$T$ に係数が付くのは、強度の比に媒質のインピーダンスの比が入ることと、透過波の光束の断面が入射波と異なることによる。

エネルギーの保存 $R+T=1$ を s 偏光で確かめる。$a=n_1\cos\theta_{\mathrm i}$、$b=n_2\cos\theta_{\mathrm t}$ とおくと

$$r_{\mathrm s}=\frac{a-b}{a+b},\qquad t_{\mathrm s}=\frac{2a}{a+b}$$

なので

$$R_{\mathrm s}+T_{\mathrm s}=\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}+\frac{b}{a}\cdot\frac{4a^2}{(a+b)^2}=\frac{a^2-2ab+b^2+4ab}{(a+b)^2}=1$$

である。p 偏光は確認テスト 9.3-2 で確かめる。

Brewster 角

(9.34) の $r_{\mathrm p}$ は、$n_2\cos\theta_{\mathrm i}=n_1\cos\theta_{\mathrm t}$ のとき0になる。この条件と Snell の法則を辺々掛ける。

$$\begin{aligned}n_1n_2\sin\theta_{\mathrm i}\cos\theta_{\mathrm i}&=n_1n_2\sin\theta_{\mathrm t}\cos\theta_{\mathrm t} &&\text{（$n_2\cos\theta_{\mathrm i}=n_1\cos\theta_{\mathrm t}$ と $n_1\sin\theta_{\mathrm i}=n_2\sin\theta_{\mathrm t}$ の積）}\\ \sin2\theta_{\mathrm i}&=\sin2\theta_{\mathrm t} &&\text{（両辺を }{n_1n_2/2}\text{ で割った）}\end{aligned}$$

$n_1\neq n_2$ なら $\theta_{\mathrm i}\neq\theta_{\mathrm t}$ である。したがって $2\theta_{\mathrm i}=\pi-2\theta_{\mathrm t}$ でなければならない。つまり

$$\theta_{\mathrm i}+\theta_{\mathrm t}=\frac{\pi}{2}$$

である。このとき $\sin\theta_{\mathrm t}=\cos\theta_{\mathrm i}$ なので、Snell の法則は $n_1\sin\theta_{\mathrm i}=n_2\cos\theta_{\mathrm i}$ となる。逆にこの式が成り立てば $\theta_{\mathrm t}=\pi/2-\theta_{\mathrm i}$ で、$r_{\mathrm p}=0$ である。

反射が消える理由は、反射波を出しているものを考えると分かる。反射波は、透過波の電場で揺すられた物質2の中の電子が出す波である。p 偏光では電子は透過波の電場の向き、つまり $\bm{k}_{\mathrm t}$ に垂直で入射面内の向きに振動する。

第11章で示すように、振動する双極子は振動の向きには波を出さない。$\theta_{\mathrm i}+\theta_{\mathrm t}=\pi/2$ のとき、反射波の向きはちょうど電子の振動の向きになるので、反射波が出ない。

自然光（偏光していない光）を Brewster 角で当てると、反射光は s 偏光だけになる。偏光サングラスが水面の照り返しを減らすのはこの性質による。

全反射

$n_1>n_2$ の場合（ガラスから空気へ出る場合など）を考える。Snell の法則から

$$\sin\theta_{\mathrm t}=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_{\mathrm i}$$

で、これが1を超えることがある。$\sin\theta_{\mathrm i}=n_2/n_1$ となる入射角 $\theta_{\mathrm c}$ を臨界角と呼ぶ。$\theta_{\mathrm i}>\theta_{\mathrm c}$ では実数の屈折角は存在しない。

しかし (9.31) の導出は角度を使っていない。透過波の波数ベクトルの $x$ 成分は $k_{\mathrm t,x}=k_1\sin\theta_{\mathrm i}$ である。物質2の分散関係 $k_{\mathrm t,x}^2+k_{\mathrm t,z}^2=k_2^2$ から

$$k_{\mathrm t,z}^2=k_2^2-k_1^2\sin^2\theta_{\mathrm i}=\frac{\omega^2}{c^2}\bigl(n_2^2-n_1^2\sin^2\theta_{\mathrm i}\bigr)<0$$

となる。そこで

$$k_{\mathrm t,z}=\mathrm{i}\frac{\omega}{c}q,\qquad q=\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_{\mathrm i}-n_2^2}>0$$

とおく（符号は $z\to+\infty$ で場が発散しない方を選ぶ）。透過波は

$$\bm{E}_{\mathrm t}\,\mathrm{e}^{-z/d}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1\sin\theta_{\mathrm i}\,x-\omega t)},\qquad d=\frac{c}{\omega q}=\frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_{\mathrm i}-n_2^2}}\tag{9.38}$$

となる（$\lambda_0$ は真空中の波長）。この波は境界に沿って $x$ の向きに進みながら、境界から離れると指数関数的に減衰する。これをエバネッセント波と呼ぶ。

Fresnel の式は代数の式なので、$\cos\theta_{\mathrm t}=k_{\mathrm t,z}/k_2=\mathrm{i} q/n_2$ と置けばそのまま使える。次の2つを入れる。

$$n_2\cos\theta_{\mathrm t}=\mathrm{i} q,\qquad n_1\cos\theta_{\mathrm t}=\frac{\mathrm{i} n_1q}{n_2}$$

すると

$$r_{\mathrm s}=\frac{n_1\cos\theta_{\mathrm i}-\mathrm{i} q}{n_1\cos\theta_{\mathrm i}+\mathrm{i} q},\qquad r_{\mathrm p}=\frac{n_2^2\cos\theta_{\mathrm i}-\mathrm{i} n_1q}{n_2^2\cos\theta_{\mathrm i}+\mathrm{i} n_1q}\tag{9.39}$$

となる（$r_{\mathrm p}$ は分母と分子に $n_2$ を掛けた）。どちらも分子が分母の複素共役なので、$\left\vert r_{\mathrm s}\right\vert =\left\vert r_{\mathrm p}\right\vert =1$ である。入射したエネルギーはすべて反射される。これが全反射である。反射波は入射波から位相がずれていて、そのずれは

$$\arg r_{\mathrm s}=-2\arctan\frac{q}{n_1\cos\theta_{\mathrm i}},\qquad \arg r_{\mathrm p}=-2\arctan\frac{n_1q}{n_2^2\cos\theta_{\mathrm i}}\tag{9.40}$$

である。s と p で位相のずれが異なるので、入射面に対して斜めの直線偏光を全反射させると楕円偏光になる。

透過側にも場はあるが、エネルギーは $z$ の向きに流れない。s 偏光の場合、エバネッセント波の磁場の $x$ 成分は、電場の $y$ 成分と位相が直角ずれている。そのため Poynting ベクトルの $z$ 成分の時間平均が0になる。

ただし、物質2の層が薄く（$d$ 程度）、その向こうに再び屈折率の大きい物質があると、エバネッセント波がそこへ移って伝わり始める。量子力学のトンネル効果と同じ構造の現象で、光ファイバーの結合器などに使われる。

確認テスト

オリジナル

1. 9.3-1 空気から水（$n=1.33$）の面に垂直に光が当たるときの反射率を求めよ。
2. 9.3-2 p 偏光について $R_{\mathrm p}+T_{\mathrm p}=1$ を (9.34) と (9.36) から示せ。また、境界条件のうち法線成分の連続（$D_{1z}=D_{2z}$ の類）が、接線成分の条件と Snell の法則から従うことを確かめよ。s 偏光の $B_z$ について調べればよい。
3. 9.3-3 ガラス（$n=1.50$）の中から空気へ出る光の Brewster 角 $\theta_{\mathrm B}'$ を求めよ。空気からガラスへの Brewster 角 $\theta_{\mathrm B}$ とのあいだに、次の関係があることを示せ。

$$\theta_{\mathrm B}+\theta_{\mathrm B}'=90^\circ$$

$\theta_{\mathrm B}'$ は臨界角より小さいか。4. 9.3-4 ダイヤモンド（$n=2.42$）から空気へ出る光の臨界角を求めよ。5. 9.3-5 真空から良導体の平らな面に垂直に入射する電磁波を考える。Fresnel の式 (9.35) は、導出が代数の操作だけによるので、次の複素屈折率でも成り立つ。

$$\tilde n=\sqrt{1+\mathrm{i}\frac{\sigma_{\mathrm c}}{\varepsilon_0\omega}}$$

これを使い、$\sigma_{\mathrm c}\gg\varepsilon_0\omega$ のとき反射率が次の形になることを示せ。

$$R\simeq1-2\sqrt{\frac{2\varepsilon_0\omega}{\sigma_{\mathrm c}}}$$

銅に 10 GHz の電磁波が当たるときの $1-R$ を求めよ。