物質中の電磁波

電磁気学入門　第9章 §9.2　★★★ 屈折率を物質の応答から導き、振動数による変化（分散）・吸収・導体の中の減衰と表皮効果を1つの複素数の波数で扱う

線形な誘電体の中の波

自由電荷も自由電流も無い、一様で線形かつ等方な物質を考える。$\bm{D}=\varepsilon\bm{E}$、$\bm{B}=\mu\bm{H}$ とすると、物質中の Maxwell 方程式は

$$\nabla\cdot\bm{E}=0,\qquad \nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial \bm{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\bm{B}=\varepsilon\mu\,\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}$$

となり、真空の (9.3) の $1/c^2=\varepsilon_0\mu_0$ を $\varepsilon\mu$ に置き換えた形である。したがって §9.1 の議論がすべて成り立ち、波は速さ

$$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\frac{c}{n},\qquad n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}\mu_{\mathrm r}}\tag{9.17}$$

で伝わる。$n$ を屈折率と呼ぶ。分散関係は $\omega=vk$、つまり $k=n\omega/c$ である。物質の中の波長は真空の波長の $1/n$ になる。

光の振動数では、ほとんどの物質で $\mu_{\mathrm r}=1$ とみなせる（磁化が光の速い振動に追いつかない）。したがって $n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$ である。

平面波の磁場は、(9.8) の $c$ を $v$ に置き換えれば得られる。

$$\bm{B}=\frac{1}{v}\hat{\bm{k}}\times\bm{E}$$

$\bm{H}=\bm{B}/\mu$ で書くと

$$\bm{H}=\frac{1}{Z}\hat{\bm{k}}\times\bm{E},\qquad Z=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\tag{9.18}$$

である（$\mu v=\sqrt{\mu/\varepsilon}$ を使った）。$Z$ は電場と磁場 $\bm{H}$ の大きさの比である。単位は $\mathrm{V/A}=\Omega$ なので、波動インピーダンスと呼ぶ。真空では $Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=376.7\,\Omega$ で、非磁性の物質では $Z=Z_0/n$ である。強度は

$$I=\left\vert \langle \bm{E}\times\bm{H} \rangle \right\vert =\frac{1}{2Z}\left\vert \bm{E}_0\right\vert ^2=\frac{n}{2Z_0}\left\vert \bm{E}_0\right\vert ^2\quad(\mu_{\mathrm r}=1)\tag{9.19}$$

と書ける。

分散：振動子模型

屈折率は物質の定数ではなく、振動数によって変わる。プリズムが白色光を色に分けるのはこのためである。振動数による変化を分散と呼ぶ。

その原因は、物質の分極 $\bm{P}$ が電場の速い振動に対して遅れて応答することにある。最も簡単な模型で調べる。

原子の中の電子（電荷 $-e$、質量 $m_{\mathrm e}$）が、次の2つの力を受けて束縛されているとする。

• 変位 $\bm{x}$ に比例する復元力 $-m_{\mathrm e}\omega_0^2\bm{x}$。$\omega_0$ は固有角振動数である。
• 速度に比例する抵抗力 $-m_{\mathrm e}\gamma\dot{\bm{x}}$（$\gamma$ は減衰率）。

第4章 §4.1 の弾性的な分極の模型に、慣性と減衰を加えたものである。電場 $\bm{E}=\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ の中での運動方程式は

$$m_{\mathrm e}\ddot{\bm{x}}=-m_{\mathrm e}\omega_0^2\bm{x}-m_{\mathrm e}\gamma\dot{\bm{x}}-e\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$$

である（電子の速さは光速よりずっと小さいので、磁場からの力は無視する）。定常的に振動する解 $\bm{x}=\bm{x}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を入れると

$$(-\omega^2+\omega_0^2-\mathrm{i}\gamma\omega)\bm{x}_0=-\frac{e}{m_{\mathrm e}}\bm{E}_0$$

なので、電子1個の双極子モーメントは

$$\bm{p}=-e\bm{x}=\frac{e^2}{m_{\mathrm e}}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega}\bm{E}$$

となる。単位体積あたりこのような電子が $N$ 個あれば $\bm{P}=N\bm{p}$ である。$\bm{P}=\varepsilon_0\chi_{\mathrm e}\bm{E}$ と $\varepsilon_{\mathrm r}=1+\chi_{\mathrm e}$ から

この模型は H. A. Lorentz にちなんで Lorentz 模型と呼ばれる。(9.20) の $\varepsilon_{\mathrm r}$ は複素数になる。その虚部は、分極が電場から位相が遅れる分を表す。§9.1 の議論は複素数の係数でもそのまま成り立つので、波数は複素数

$$\tilde k=\tilde n\frac{\omega}{c},\qquad \tilde n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)}=n+\mathrm{i}\kappa\quad(\mu_{\mathrm r}=1)\tag{9.21}$$

になる。$\tilde n$ を複素屈折率と呼ぶ（平方根は虚部が正のものをとる）。$+z$ 向きの平面波は

$$\bm{E}=\bm{E}_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\tilde kz-\omega t)}=\bm{E}_0\,\mathrm{e}^{-\kappa\omega z/c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n\omega z/c-\omega t)}$$

となる。実部 $n$ が波の位相の進み方（ふつうの意味の屈折率）を、虚部 $\kappa$ が振幅の減衰を決める。強度は $\left\vert \bm{E}\right\vert ^2$ に比例するので $\mathrm{e}^{-\alpha z}$ で減る。吸収係数は $\alpha=2\kappa\omega/c$ である。

図 9.2 に、$\omega_{\mathrm p}^2=0.5\,\omega_0^2$、$\gamma=0.1\,\omega_0$ の場合を示す。グラフから2つの領域が読み取れる。

1. 正常分散：$\omega_0$ から十分離れた所。$\kappa$ はほとんど0で、物質は透明である。そこでは $\gamma$ を無視して

$$n^2=1+\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_0^2-\omega^2}$$

と書ける。$\omega<\omega_0$ の範囲では、振動数とともに $n$ が大きくなる。ガラスの屈折率が赤い光より青い光で大きいのはこのためで、ガラスの電子の共鳴は紫外線の領域にある。2. 異常分散：$\omega_0$ の近く（幅 $\gamma$ 程度）。$\kappa$ が大きくなって光は吸収される。$n$ は $\omega$ とともに減る。

位相速度と群速度

屈折率が $\omega$ によるとき、「波の速さ」には2つの意味がある。単色波の山が進む速さは

$$v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{n(\omega)}\tag{9.22}$$

で、これを位相速度と呼ぶ。一方、信号やエネルギーは、振幅が有限の範囲に限られた波の塊（波束）として運ばれる。近い角振動数 $\omega\pm\Delta\omega$（波数 $k\pm\Delta k$）の2つの波を等しい振幅で重ねると

$$\cos\bigl((k+\Delta k)z-(\omega+\Delta\omega)t\bigr)+\cos\bigl((k-\Delta k)z-(\omega-\Delta\omega)t\bigr) =2\cos(\Delta k\,z-\Delta\omega\,t)\,\cos(kz-\omega t)$$

となる。速い振動 $\cos(kz-\omega t)$ の振幅が、ゆっくり変わる包絡線 $2\cos(\Delta k\,z-\Delta\omega\,t)$ で変調されている。包絡線は速さ $\Delta\omega/\Delta k$ で進む。

一般の波束 $\int A(k')\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k'z-\omega(k')t)}\mathrm{d} k'$ でも同じことが言える。$A$ が $k$ の近くに集まっていれば

$$\omega(k')\simeq\omega(k)+(k'-k)\frac{d \omega}{d k}$$

と展開して

$$\int A(k')\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k'z-\omega(k')t)}\mathrm{d} k'\simeq\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}\int A(k')\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k'-k)(z-v_{\mathrm g}t)}\mathrm{d} k'$$

となる。包絡線（右辺の積分）は $z-v_{\mathrm g}t$ だけの関数として、形を保ったまま進む。ここで

$$v_{\mathrm g}=\frac{d \omega}{d k}=\frac{c}{n+\omega\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega}\tag{9.23}$$

を群速度と呼ぶ。第2の形は、$k=n(\omega)\omega/c$ を $\omega$ で微分した次の式から得る。

$$\frac{d k}{d \omega}=\frac{1}{c}\Bigl(n+\omega\frac{d n}{d \omega}\Bigr)$$

正常分散（$\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega>0$）の透明な物質では $v_{\mathrm g}<v_{\mathrm p}$ である。

プラズマと金属の自由電子

束縛の無い電子が衝突の少ない状態で集まった物質（電離層・金属の中の伝導電子）を考える。(9.20) で $\omega_0=0$、$\gamma\to0$ として

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=1-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega^2}\tag{9.24}$$

を得る。振動数がプラズマ角振動数より高いか低いかで、振る舞いが分かれる。

1. $\omega>\omega_{\mathrm p}$ のとき：$\varepsilon_{\mathrm r}>0$ である。分散関係 $k^2c^2=\varepsilon_{\mathrm r}\omega^2$ は

$$\omega^2=\omega_{\mathrm p}^2+c^2k^2\tag{9.25}$$

となる。位相速度と群速度は

$$v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k}>c,\qquad v_{\mathrm g}=\frac{c^2k}{\omega}<c,\qquad v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$$

である（確認テスト 9.2-2）。位相速度が $c$ を超えても、信号を運ぶ群速度は $c$ を超えないので、相対論と矛盾しない。2. $\omega<\omega_{\mathrm p}$ のとき：$\varepsilon_{\mathrm r}<0$ なので、波数は純虚数になる。波は物質の中に入ると指数関数的に減衰し、プラズマの表面で反射される。

導体の中の波

一様な導体を考える。電気伝導率を $\sigma_{\mathrm c}$、誘電率を $\varepsilon$ とする。透磁率は $\mu$ とする。

導体の中に自由電荷があっても、それは時定数 $\varepsilon/\sigma_{\mathrm c}$ で消える（確認テスト 9.2-5。金属では $10^{-19}\,\mathrm s$ 程度）。そこで $\rho_{\mathrm f}=0$ とおく。$\bm{J}_{\mathrm f}=\sigma_{\mathrm c}\bm{E}$ を入れると

$$\nabla\cdot\bm{E}=0,\qquad \nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial \bm{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\bm{B}=\mu\sigma_{\mathrm c}\bm{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}$$

である。第3式の回転をとって §9.1 と同じ操作をすると

$$\nabla^2\bm{E}=\mu\sigma_{\mathrm c}\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}+\mu\varepsilon\frac{\partial ^2\bm{E}}{\partial t^2}\tag{9.26}$$

を得る。右辺第1項は減衰を表す。$\bm{E}=\bm{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\tilde kz-\omega t)}$ を入れると

$$-\tilde k^2=-\mathrm{i}\omega\mu\sigma_{\mathrm c}-\mu\varepsilon\omega^2,$$

つまり

$$\tilde k^2=\mu\varepsilon\omega^2+\mathrm{i}\mu\sigma_{\mathrm c}\omega=\mu\varepsilon\omega^2\Bigl(1+\mathrm{i}\frac{\sigma_{\mathrm c}}{\varepsilon\omega}\Bigr)\tag{9.27}$$

となる。導体の性質は、誘電率を複素数 $\tilde\varepsilon=\varepsilon+\mathrm{i}\sigma_{\mathrm c}/\omega$ に置き換えることで取り込める。$\tilde k=k'+\mathrm{i} k''$（$k',k''>0$）とおき、実部と虚部を比べると

$$k'^2-k''^2=\mu\varepsilon\omega^2,\qquad 2k'k''=\mu\sigma_{\mathrm c}\omega$$

である。これを解くと（確認テスト 9.2-3）

$$k'=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}\left[\frac{\sqrt{1+(\sigma_{\mathrm c}/\varepsilon\omega)^2}+1}{2}\right]^{1/2},\qquad k''=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}\left[\frac{\sqrt{1+(\sigma_{\mathrm c}/\varepsilon\omega)^2}-1}{2}\right]^{1/2}\tag{9.28}$$

を得る。比 $\sigma_{\mathrm c}/(\varepsilon\omega)$ は、第8章の例題で調べた伝導電流と変位電流の振幅の比である。

良導体と表皮効果.

$\sigma_{\mathrm c}\gg\varepsilon\omega$ の導体を良導体と呼ぶ。銅では、マイクロ波の振動数でもこの比は $10^{9}$ に達する。このとき (9.27) の第1項は無視できる。$\tilde k^2=\mathrm{i}\mu\sigma_{\mathrm c}\omega$ と $\sqrt{\mathrm{i}}=(1+\mathrm{i})/\sqrt2$ から

$$\tilde k=\frac{1+\mathrm{i}}{\delta},\qquad \delta=\sqrt{\frac{2}{\mu\sigma_{\mathrm c}\omega}}\tag{9.29}$$

となる。波は $\mathrm{e}^{-z/\delta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(z/\delta-\omega t)}$ の形である。振幅は距離 $\delta$ 進むごとに $1/\mathrm{e}$ になる。波長 $2\pi\delta$ の1波長のあいだに、振幅は $\mathrm{e}^{-2\pi}\approx1/535$ まで減る。

導体の表面に外から電磁波が当たっても、場は表面から $\delta$ 程度の層にしか入らない。この現象を表皮効果、$\delta$ を表皮深さと呼ぶ。交流の電流も同じ理由で、導線の表面の厚さ $\delta$ 程度の層に集まって流れる。そのため高い振動数では、導線の抵抗が直流の値より大きくなる。

良導体の中の磁場は、Faraday の法則 $\tilde k\hat{\bm{z}}\times\bm{E}_0=\omega\bm{B}_0$ から

$$\bm{B}_0=\frac{\tilde k}{\omega}\hat{\bm{z}}\times\bm{E}_0=\sqrt{\frac{\mu\sigma_{\mathrm c}}{\omega}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\,\hat{\bm{z}}\times\bm{E}_0$$

である（$1+\mathrm{i}=\sqrt2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$）。磁場は電場より位相が $45^\circ$ 遅れる。大きさの比 $\left\vert \bm{B}_0\right\vert /\left\vert \bm{E}_0\right\vert =\sqrt{\mu\sigma_{\mathrm c}/\omega}$ は、真空の $1/c$ よりずっと大きい。導体の中の場のエネルギーは、ほとんどが磁場のエネルギーである（確認テスト 9.2-4）。

導体の表面に入ったエネルギーは、すべて Joule 熱になる。表面での接線方向の磁場の複素振幅を $H_0$ とすると、電場は

$$E_0=\tilde ZH_0,\qquad \tilde Z=\frac{\omega\mu}{\tilde k}=\frac{1-\mathrm{i}}{\sigma_{\mathrm c}\delta}$$

である（$\omega\mu\delta/2=1/(\sigma_{\mathrm c}\delta)$ を使った）。表面の単位面積に流れ込む電力の時間平均は

$$\frac{\langle P \rangle }{A}=\frac12\operatorname{Re}\bigl(E_0H_0^*\bigr)=\frac12R_{\mathrm s}\left\vert H_0\right\vert ^2,\qquad R_{\mathrm s}=\frac{1}{\sigma_{\mathrm c}\delta}\tag{9.30}$$

となる。$R_{\mathrm s}$ を表面抵抗と呼ぶ。厚さ $\delta$ の層に、一様に電流が流れたときの1平方あたりの抵抗に等しい。§9.4 で共振器の損失を見積もるときに使う。

悪導体.

逆に $\sigma_{\mathrm c}\ll\varepsilon\omega$ の物質では、(9.28) を展開して次を得る（確認テスト 9.2-3）。

$$k'\simeq\omega\sqrt{\varepsilon\mu},\qquad k''\simeq\frac{\sigma_{\mathrm c}}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$$

波は誘電体の中と同じ速さで進み、減衰の長さ $1/k''$ は振動数によらない。

確認テスト

オリジナル

1. 9.2-1 真空の波動インピーダンス $Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ の値を求めよ。屈折率 1.33 の非磁性の物質（可視光に対する水）の中の波動インピーダンスはいくらか。
2. 9.2-2 分散関係 (9.25) から $v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2$ を示せ。次に、ナトリウムの伝導電子の密度を $N=2.65\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ とする。ナトリウムが透明になる真空中の波長 $\lambda_{\mathrm p}=2\pi c/\omega_{\mathrm p}$ を求めよ。
3. 9.2-3 次の連立方程式を解いて (9.28) を導け。

$$k'^2-k''^2=\mu\varepsilon\omega^2,\qquad 2k'k''=\mu\sigma_{\mathrm c}\omega$$

さらに $\sigma_{\mathrm c}\ll\varepsilon\omega$ のとき $k''\simeq\frac{\sigma_{\mathrm c}}{2}\sqrt{\mu/\varepsilon}$ となることを示せ。4. 9.2-4 良導体の中の平面波について、磁場のエネルギー密度の時間平均と電場のエネルギー密度の時間平均の比が $\sigma_{\mathrm c}/(\varepsilon\omega)$ であることを示せ。銅（$\varepsilon=\varepsilon_0$）で $f=1.0\,\mathrm{GHz}$ のときの値を求めよ。5. 9.2-5 一様な導体（伝導率 $\sigma_{\mathrm c}$、誘電率 $\varepsilon$）の中の自由電荷密度が、次のように減ることを連続の式と Gauss の法則から示せ。

$$\rho_{\mathrm f}(\bm{r},t)=\rho_{\mathrm f}(\bm{r},0)\,\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm r}},\qquad \tau_{\mathrm r}=\frac{\varepsilon}{\sigma_{\mathrm c}}$$

銅（$\varepsilon=\varepsilon_0$）の $\tau_{\mathrm r}$ を求めよ。