4元電流と4元ポテンシャル

電磁気学入門　第10章 §10.2　★★★ $(c\rho,\bm{J})$ と $(\phi/c,\bm{A})$ は4元ベクトルになり、連続の式と Lorenz 条件はどちらも「4元発散がゼロ」という不変な式になる

電荷の不変性と電荷密度の変換

物体の全電荷は、どの慣性系で測っても同じ値をとる。これを電荷の不変性と呼ぶ。質量やエネルギーと違い、電荷は速さによって変わらない。

実験の根拠として、たとえば水素分子とヘリウム原子はどちらも電気的に中性であることが高い精度で確かめられている。2つの中で電子と原子核の運動の速さはまったく違うので、もし電荷が速さに依存すれば、どちらかに正味の電荷が残るはずである。以下ではこれを前提として認める。

電荷の不変性から、電荷密度の変換が決まる。電荷が速度 $\bm{u}$ で一様に流れているとし、電荷とともに動く系（静止系）で測った電荷密度を $\rho_0$ とする。静止系で体積 $V_0$ の小さな箱をとると、その中の電荷は $Q=\rho_0V_0$ である。

流れが動いて見える系では、箱の運動方向の辺だけが $1/\gamma_u$ 倍に縮む（『相対論入門』第2章 §2.2 の長さの収縮）。ここで

$$\gamma_u=\Bigl(1-\frac{u^2}{c^2}\Bigr)^{-1/2}$$

である。体積は $V=V_0/\gamma_u$ になる。中の電荷は変わらないので

$$\rho=\frac{Q}{V}=\gamma_u\rho_0,\qquad \bm{J}=\rho\bm{u}=\gamma_u\rho_0\bm{u}\tag{10.13}$$

である。電荷密度は静止系で最も小さく、動いて見える系では $\gamma_u$ 倍に大きくなる。

4元電流と連続の式

『相対論入門』第5章 §5.1 の4元速度 $u^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\tau=\gamma_u(c,\bm{u})$ を使う。すると (10.13) は

$$J^\mu=\rho_0u^\mu=(c\rho,\,\bm{J})\tag{10.14}$$

とまとまる。$\rho_0$ は静止系で測った量なので、どの系でも同じ値をとるスカラーである。$u^\mu$ は4元ベクトルである。したがって $J^\mu$ は4元ベクトルで、4元電流と呼ぶ。

速度の違う何種類かの電荷が重なっているときは、それぞれの4元電流を足せばよい。4元ベクトルの和は4元ベクトルなので、一般の電荷と電流の分布について $J^\mu=(c\rho,\bm{J})$ は4元ベクトルである。

成分で書けば、$x$ 方向のブーストで

$$c\rho'=\gamma(c\rho-\beta J_x),\qquad J'_x=\gamma(J_x-\beta c\rho),\qquad J'_y=J_y,\qquad J'_z=J_z\tag{10.15}$$

となる。電荷密度と電流密度は、時刻と位置が混ざるのと同じ仕方で混ざる。

とくに、$K$ で電荷密度が0でも電流があれば、もう一方の系では $\rho'=-\gamma\beta J_x/c\neq0$ となる。電荷の不変性があるのに電荷密度が現れるのは、同時刻の取り方が系によって違うためである（例題 10.2）。

内積 $J_\mu J^\mu=c^2\rho^2-\left\vert \bm{J}\right\vert ^2$ は不変量である。1種類の電荷の流れなら、$c^2\rho_0^2$ に等しい（確認テスト 10.2-1）。

連続の式は、(10.12) を使うと

$$\partial_\mu J^\mu=\frac1c\frac{\partial (c\rho)}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}=0\tag{10.16}$$

と書くことができる。左辺は4元ベクトルの4元発散なのでスカラーである。1つの慣性系で0なら、すべての慣性系で0である。電荷の保存則は、どの慣性系でも同じ形で成り立つ。

4元ポテンシャルと Lorenz 条件

第8章 §8.2 の Lorenz ゲージのポテンシャルの方程式 (10.2) を、4元電流の形に合わせて書き直す。$\Box\phi=\rho/\varepsilon_0$ の両辺を $c$ で割る。$\varepsilon_0\mu_0=1/c^2$ から出る $1/(\varepsilon_0c)=\mu_0c$ を使うと

$$\Box\Bigl(\frac{\phi}{c}\Bigr)=\frac{\rho}{\varepsilon_0c}=\mu_0(c\rho)$$

となる。$\Box\bm{A}=\mu_0\bm{J}$ と並べると、

$$A^\mu=\Bigl(\frac{\phi}{c},\,\bm{A}\Bigr)\tag{10.17}$$

とおいて、4本の方程式が

$$\Box A^\mu=\mu_0J^\mu\tag{10.18}$$

の1本にまとまる。Lorenz 条件も

$$\partial_\mu A^\mu=\frac1c\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(\frac{\phi}{c}\Bigr)+\nabla\cdot\bm{A}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{A}=0\tag{10.19}$$

と4元発散の形になる。

$A^\mu$ が4元ベクトルとして変換されることを確かめる。$K$ で $A^\mu$ が (10.18) と (10.19) を満たすとする。$K'$ で $A'^\mu(x')=\Lambda^\mu{}_\nu A^\nu(x)$ と定める。ダランベルシアンは不変で、4元電流は4元ベクトルなので

$$\Box'A'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\Box A^\nu=\mu_0\Lambda^\mu{}_\nu J^\nu=\mu_0J'^\mu$$

となる。4元発散もスカラーなので、$\partial'_\mu A'^\mu=\partial_\mu A^\mu=0$ である。つまり $\Lambda^\mu{}_\nu A^\nu$ は、$K'$ で同じ形の方程式を満たす。

第11章 §11.1 で示すとおり、遠方から入ってくる放射が無いという条件（遅延の条件）をつければ (10.18) の解はただ1つに決まる。

この条件は「過去の光円錐の上の源だけが寄与する」という形をしている。光円錐と時間の向きは Lorentz 変換で保たれるので、どの慣性系でも同じ条件である。したがって $K'$ のポテンシャルは $\Lambda^\mu{}_\nu A^\nu$ そのものである。$A^\mu$ は4元ベクトルで、これを4元ポテンシャルと呼ぶ。

ゲージ変換も4元の形で書くことができる。スカラー関数 $\Lambda(x)$ について

$$A^\mu\to A^\mu-\partial^\mu\Lambda\tag{10.20}$$

とする。成分に分けると次のようになる。

$$\begin{aligned}\frac{\phi}{c}&\to\frac{\phi}{c}-\frac1c\partial_t\Lambda,\ \text{つまり}\ \phi\to\phi-\partial_t\Lambda &&\text{（}{\mu=0}\text{ 成分）}\\ \bm{A}&\to\bm{A}+\nabla\Lambda &&\text{（空間成分。}{\partial^i=-\partial_i}\text{ を使った）}\end{aligned}$$

第8章 §8.2 のゲージ変換と同じ符号である。ゲージ関数 $\Lambda$ は Lorentz 変換の行列 $\Lambda^\mu{}_\nu$ と字が同じだが、添字の有無で区別する。変換のあとで Lorenz 条件が保たれるのは、$\partial_\mu\partial^\mu\Lambda=\Box\Lambda=0$ のときである（確認テスト 10.2-4）。

確認テスト

オリジナル

1. 10.2-1 1種類の電荷が速度 $\bm{u}$ で流れているとき、$J_\mu J^\mu=c^2\rho_0^2$ を示せ。また、電流の流れる中性の導線では $J_\mu J^\mu<0$ となることを確かめよ。この場合には電荷が静止して見える系が無いことを説明せよ。
2. 10.2-2 電荷の雲が、速さ $0.60c$ で $x$ 方向に動いている。静止系での電荷密度は $\rho_0=2.0\,\mu\mathrm{C/m^3}$ である。この系での $\rho$ と $J_x$ を求め、次の関係を数値で確かめよ。

$$c^2\rho^2-J_x^2=c^2\rho_0^2$$ 3. 10.2-3 $K$ で中性（$\lambda=0$）の導線に電流が流れている。電流は $+x$ 向きで、$I=5.0\,\mathrm A$ である。もとの系に対して $+x$ 向きに $\beta=0.50$ で動く系を考える。その系での線電荷密度 $\lambda'$ と電流 $I'$ を求めよ。$(c\lambda)^2-I^2$ が変わらないことを確かめよ。4. 10.2-4 ゲージ変換 (10.20) のもとで $\partial_\mu A^\mu$ がどう変わるかを計算せよ。Lorenz 条件が保たれるための条件が $\Box\Lambda=0$ であることを示せ。