電磁場テンソル

電磁気学入門　第10章 §10.3　★★★ 4元ポテンシャルの回転（電磁場テンソル）の6成分が電場と磁場で、ここから2つの不変量 $B^2-E^2/c^2$ と $\bm{E}\cdot\bm{B}$ が出る

電場と磁場は4元ベクトルの成分になれない

4元電流と4元ポテンシャルは、どちらも4つの成分を持つ量だった。電場と磁場は合わせて6つの成分を持つので、4元ベクトルの成分に収めることはできない。6という数は、$4\times4$ の反対称行列の独立な成分の数 $4\cdot3/2=6$ に一致する。ポテンシャルとの関係

$$\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\qquad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}$$

を見ると、どちらも $A^\mu$ の成分を微分して、添字を入れ替えて引いた形をしている。2つの例を挙げる。

• $B_z=\partial_xA_y-\partial_yA_x$ である。
• $E_x=-\partial_x\phi-\partial_tA_x$ も、2つの微分を入れ替え、ポテンシャルの2つの成分を入れ替えて引いた形になっている。

これを4次元で揃えて書いたものが電磁場テンソルである。

定義と成分

微分 $\partial_\mu$ とポテンシャル $A_\nu$ は、どちらも共変成分として変換される。したがって $F_{\mu\nu}$ は2階のテンソルである。定義から $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$（反対称）で、対角成分は0である。

成分を計算する。次の3つを使う。

$$\partial_0=\frac1c\partial_t,\qquad A_0=\frac{\phi}{c},\qquad A_i=-A^i$$

時間と空間を1つずつ持つ成分は

$$F_{0i}=\partial_0A_i-\partial_iA_0=\frac1c\Bigl(-\frac{\partial A^i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\Bigr)=\frac{E_i}{c}\tag{10.22}$$

である。空間の成分は、3次元の Levi-Civita 記号 $\epsilon_{ijk}$（$\epsilon_{123}=+1$）を使って

$$F_{ij}=\partial_i(-A^j)-\partial_j(-A^i)=-(\partial_iA^j-\partial_jA^i)=-\epsilon_{ijk}B_k\tag{10.23}$$

となる。最後の等号は、$\partial_iA^j-\partial_jA^i$ が $\epsilon_{ijk}(\nabla\times\bm{A})_k$ に等しいことによる。たとえば $i=1,j=2$ では $\partial_xA_y-\partial_yA_x=B_z$ である。

添字を上げると、0の添字を1つだけ含む成分の符号が変わる。空間の添字2つの成分は変わらない（$\eta^{ii}$ を2回掛けるので）。行を $\mu$、列を $\nu$ として並べると

$$F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&-E_x/c&-E_y/c&-E_z/c\\ E_x/c&0&-B_z&B_y\\ E_y/c&B_z&0&-B_x\\ E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix},\qquad F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&E_x/c&E_y/c&E_z/c\\ -E_x/c&0&-B_z&B_y\\ -E_y/c&B_z&0&-B_x\\ -E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}\tag{10.24}$$

である。まとめれば

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},\qquad F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B_k$$

で、第0行と第0列に電場、空間の $3\times3$ の部分に磁場が入る。

ゲージ変換 (10.20) の共変成分は $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ である。このとき電磁場テンソルの変化は

$$-\partial_\mu\partial_\nu\Lambda+\partial_\nu\partial_\mu\Lambda=0$$

である。つまり $F_{\mu\nu}$ はゲージ変換で変わらない（確認テスト 10.3-1）。電場と磁場がゲージによらないことの4次元の言い方である。

Lorentz 力の共変形

$F^{\mu\nu}$ がテンソルであることは、Lorentz 力の形からも読み取ることができる。『相対論入門』第5章 §5.4 の4元力 $f^\mu=\mathrm{d} p^\mu/\mathrm{d}\tau$ を考える。これは3次元の力 $\bm{F}$ と粒子の速度 $\bm{u}$ を使って次のように書ける。

$$f^\mu=\gamma_u\Bigl(\frac{\bm{F}\cdot\bm{u}}{c},\,\bm{F}\Bigr)$$

$\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})$ を入れると

$$f^0=\frac{q\gamma_u}{c}\bm{E}\cdot\bm{u},\qquad \bm{f}=q\gamma_u(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})$$

となる。右辺は4元速度 $u^\mu=\gamma_u(c,\bm{u})$ の成分について1次式になっている。共変成分 $u_\nu=\gamma_u(c,-\bm{u})$ で書き直すと

$$f^\mu=\frac{d p^\mu}{d \tau}=qF^{\mu\nu}u_\nu\tag{10.25}$$

となる。実際、$\mu=0$ では

$$F^{0i}u_i=\Bigl(-\frac{E_i}{c}\Bigr)(-\gamma_uu_i)=\frac{\gamma_u}{c}\bm{E}\cdot\bm{u},$$

$\mu=i$ では

$$F^{i0}u_0+F^{ij}u_j=\frac{E_i}{c}\gamma_uc+(-\epsilon_{ijk}B_k)(-\gamma_uu_j)=\gamma_u\bigl(E_i+(\bm{u}\times\bm{B})_i\bigr)$$

である。左辺の $f^\mu$ は4元ベクトルで、$u_\nu$ は任意の4元速度をとれる。したがって『相対論入門』第4章 §4.3 の商定理から、$F^{\mu\nu}$ はテンソルである。(10.25) を使った荷電粒子の運動（一様な磁場中の運動など）は『相対論入門』第6章 §6.2 で扱う。

双対テンソル

反対称テンソルからは、Levi-Civita 記号で添字を「裏返した」もう1つの反対称テンソルがつくることができる。

成分を1つずつ計算する。$\tilde F^{01}$ では $(\rho,\sigma)=(2,3),(3,2)$ の2項が残る。$\epsilon^{0123}=+1$、$\epsilon^{0132}=-1$ なので

$$\tilde F^{01}=\frac12\bigl(F_{23}-F_{32}\bigr)=F_{23}=-B_x$$

である。$\tilde F^{23}$ では $(\rho,\sigma)=(0,1),(1,0)$ が残る。並び 2301 は、0123 から $0\leftrightarrow2$ と $1\leftrightarrow3$ の2回の互換で得られる偶置換である。したがって $\epsilon^{2301}=+1$ で、

$$\tilde F^{23}=\frac12\bigl(F_{01}-F_{10}\bigr)=F_{01}=\frac{E_x}{c}$$

となる。ほかの成分も同様に計算すると

$$\tilde F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&-B_x&-B_y&-B_z\\ B_x&0&E_z/c&-E_y/c\\ B_y&-E_z/c&0&E_x/c\\ B_z&E_y/c&-E_x/c&0 \end{pmatrix}\tag{10.27}$$

を得る。(10.24) と比べると、$\tilde F^{\mu\nu}$ は $F^{\mu\nu}$ で

$$\frac{\bm{E}}{c}\to\bm{B},\qquad \bm{B}\to-\frac{\bm{E}}{c}\tag{10.28}$$

と置き換えたものになっている。$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ は不変なテンソルなので、$\tilde F^{\mu\nu}$ も2階のテンソルである。

2つの不変量

テンソルの添字をすべて縮約すると不変量が得られる。$F^{\mu\nu}$ から2つつくる。

証明

$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ は、(10.24) の2つの行列の同じ位置の成分の積を全部足したものである。

• 0の添字を1つ含む成分は、$(0,i)$ と $(i,0)$ の合わせて6か所である。それぞれ $(E_i/c)(-E_i/c)$ なので、和は $-2E^2/c^2$ になる。
• 空間の成分は $F_{ij}F^{ij}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijl}B_kB_l$ である。$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijl}=2\delta_{kl}$ を使うと $2B^2$ になる。

合わせて第1式を得る。

第2式は、$\tilde F^{\mu\nu}$ が $F^{\mu\nu}$ に置き換え (10.28) をしたものであることを使う。0の添字を含む6か所の和は

$$2\sum_i F_{0i}\tilde F^{0i}=2\sum_i\frac{E_i}{c}(-B_i)=-\frac{2}{c}\bm{E}\cdot\bm{B} ,$$

空間の成分は、$F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B_k$ で磁場を $-\bm{E}/c$ に置き換えた

$$\tilde F^{ij}=\epsilon_{ijk}\frac{E_k}{c}$$

なので

$$F_{ij}\tilde F^{ij}=(-\epsilon_{ijk}B_k)\Bigl(\epsilon_{ijl}\frac{E_l}{c}\Bigr)=-\frac{2}{c}\bm{E}\cdot\bm{B}$$

である。合わせて $-4\bm{E}\cdot\bm{B}/c$ を得る。左辺はどちらもテンソルの完全な縮約なので不変量である。

2つの不変量から、慣性系を取り替えても変わらない場の性質が読み取ることができる。

• $\bm{E}\cdot\bm{B}\neq0$ のとき：電場だけ、あるいは磁場だけになる慣性系は無い。どちらかが0なら、内積も0になるはずだからである。
• 内積が0で $E<cB$ のとき：不変量 $E^2-c^2B^2$ は、どの系でも負である。したがって磁場が0になる系は無い。§10.5 で示すとおり、電場が0になる系はある。
• $\bm{E}\cdot\bm{B}=0$ で $E>cB$ のとき：逆に、磁場が0になる系があり、電場が0になる系は無い。
• $\bm{E}\cdot\bm{B}=0$ かつ $E=cB$ のとき：真空中の平面電磁波がその例である。どの系でも、電場と磁場は直交し、$E=cB$ のままである。

確認テスト

オリジナル

1. 10.3-1 ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ で $F_{\mu\nu}$ が変わらないことを示せ。
2. 10.3-2 電場と磁場が $\bm{E}=(0,E_0,0)$、$\bm{B}=(0,0,B_0)$ のとき、電磁場テンソルの反変成分と共変成分を行列で書け。2つの不変量 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ と $F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}$ を、成分の和から直接計算せよ。
3. 10.3-3 電場と磁場が $\bm{E}/c=(a,0,0)$、$\bm{B}=(a,a,0)$ のときを考える。行列式 $\det F^{\mu\nu}$ を余因子展開で計算せよ。それが $(\bm{E}\cdot\bm{B})^2/c^2$ に一致することを確かめよ。
4. 10.3-4 定理 10.3 の第2式を、双対の置き換えの規則を使わず、定義 (10.26) から $F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu}=\frac12\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ と書き、0 でない項を数え上げて示せ。
5. 10.3-5 Lorentz 力の共変形 (10.25) について、$u_\mu f^\mu=0$ を電磁場テンソルの反対称性から示せ。それが静止質量が変わらないこと（$u_\mu u^\mu=c^2$ の微分）と両立することを説明せよ。