電気双極子放射

電磁気学入門　第11章 §11.2　★★★ 波長より小さい源の放射は双極子モーメントの2階微分で決まり、$\sin^2\theta$ のパターンと $\omega^4$ に比例する電力を持つ

3つの長さと双極子近似

原点の近くの大きさ $d$ の領域に局在した源が、角振動数 $\omega$ 程度の速さで時間変化しているとする。場の点までの距離を $r$ とする。放射される波の波長は $\lambda=2\pi c/\omega$ である。この節では次の2つを仮定する。

$$d\ll r,\qquad d\ll\lambda.\tag{11.11}$$

1つ目は場の点が源から遠いこと、2つ目は源の中を光が横切る時間 $d/c$ が変化の周期より十分短いことを意味する。この仮定のもとで、遅延ポテンシャルを次のように近似する。

• 分母の $\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert$ を $r$ に置き換える。誤差は $d/r$ の程度である。
• 遅延時刻の $\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert /c$ を $r/c$ に置き換える。誤差は時間で $d/c$ の程度で、位相にして $\omega d/c\sim d/\lambda$ の程度である。

どちらも小さいので、まず最低次では源の点への依存を無視してよい。これを双極子近似と呼ぶ。さらに $r\gg\lambda$ の領域を放射帯（遠方帯）と呼ぶ。

証明

成分 $i$ について、$\partial'_j(x'_iJ_j)=J_i+x'_i\,\nabla'\cdot\bm{J}$ を全空間で積分する。左辺は発散定理で無限遠の面積分になり $0$ である。したがって

$$\int J_i\,\mathrm{d} V'=-\int x'_i\,\nabla'\cdot\bm{J}\,\mathrm{d} V'=\int x'_i\,\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d} V'=\frac{d }{d t}\int x'_i\rho\,\mathrm{d} V'=\dot p_i.$$

2つ目の等号で連続の式 $\nabla'\cdot\bm{J}=-\partial_t\rho$ を使った。

ポテンシャルと場

補題 11.4 により、双極子近似のベクトルポテンシャルは

$$\bm{A}(\bm{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi r}\int\bm{J}(\bm{r}',t-r/c)\,\mathrm{d} V'=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\dot{\bm{p}}(t-r/c)}{r}\tag{11.12}$$

である。スカラーポテンシャルも同じ近似で展開できるが、その最低次は全電荷の Coulomb 電位で時間変化しない。時間変化する部分は Lorenz 条件から求めるほうが早い。$\hat{\bm{n}}=\bm{r}/r$ と書き、遅延時刻 $t-r/c$ での値を省略して書く。$\dot{\bm{p}}(t-r/c)$ の微分は、$\nabla(t-r/c)=-\hat{\bm{n}}/c$ を通して生じるので

$$\nabla\cdot\bm{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{\nabla\cdot\dot{\bm{p}}}{r}+\dot{\bm{p}}\cdot\nabla\frac1r\Bigr) =-\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\ddot{\bm{p}}}{cr}+\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{p}}}{r^2}\Bigr).$$

Lorenz 条件 $c^{-2}\partial_t\phi=-\nabla\cdot\bm{A}$ を時間で積分し、$\mu_0c^2=1/\varepsilon_0$ を使うと

$$\phi(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\bm{p}}{r^2}+\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{p}}}{cr}\Bigr)_{t-r/c}\tag{11.13}$$

を得る（積分定数は時間によらない部分で、全電荷が0なら0にとれる）。第1項は第3章 §3.5 の静的な双極子の電位で、時刻だけが遅延時刻に置き換わっている。

証明

$\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ を (11.12) から計算する。$\nabla\times(f\bm{V})=\nabla f\times\bm{V}+f\nabla\times\bm{V}$ を使い、次に注意する。

$$\nabla\times\dot{\bm{p}}(t-r/c)=\nabla(t-r/c)\times\ddot{\bm{p}}=-\frac{1}{c}\hat{\bm{n}}\times\ddot{\bm{p}}$$

すると

$$\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(-\frac{\hat{\bm{n}}}{r^2}\times\dot{\bm{p}}-\frac{\hat{\bm{n}}\times\ddot{\bm{p}}}{cr}\Bigr) =\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{\dot{\bm{p}}}{r^2}+\frac{\ddot{\bm{p}}}{cr}\Bigr)\times\hat{\bm{n}}.$$

電場は $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$ を (11.13) と (11.12) から計算する。まず

$$-\partial_t\bm{A}=-\frac{\mu_0\ddot{\bm{p}}}{4\pi r}=-\frac{\ddot{\bm{p}}}{4\pi\varepsilon_0c^2r}$$

は、(11.15) の最後の項の $-\ddot{\bm{p}}$ の部分である。$-\nabla\phi$ の計算では、$\hat{\bm{n}}\cdot\bm{V}/r^k$ の形の項の勾配に次の式を使う。

$$\nabla\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\bm{V}}{r^k}=\nabla\frac{\bm{r}\cdot\bm{V}}{r^{k+1}}=\frac{\bm{V}-(k+1)(\hat{\bm{n}}\cdot\bm{V})\hat{\bm{n}}}{r^{k+1}}-\frac{(\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{V}})\hat{\bm{n}}}{cr^k}$$

右辺は、$\bm{V}$ を定数とみなした部分と、遅延時刻を通した部分の和である。これを次の2つの場合に使う。

• $k=2$、$\bm{V}=\bm{p}$。
• $k=1$、$\bm{V}=\dot{\bm{p}}$。

$$-\nabla\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\bm{p}}{r^2}=\frac{3(\hat{\bm{n}}\cdot\bm{p})\hat{\bm{n}}-\bm{p}}{r^3}+\frac{(\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{p}})\hat{\bm{n}}}{cr^2},\qquad -\frac1c\nabla\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{p}}}{r}=\frac{2(\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{p}})\hat{\bm{n}}-\dot{\bm{p}}}{cr^2}+\frac{(\hat{\bm{n}}\cdot\ddot{\bm{p}})\hat{\bm{n}}}{c^2r}.$$

2つを足して $1/(4\pi\varepsilon_0)$ を掛け、$-\partial_t\bm{A}$ を加えると (11.15) になる。

式 (11.15) の3つの項は、距離の大きさで役割が分かれる。

• 近接帯（$r\ll\lambda$）：$\dot{\bm{p}}\sim\omega\bm{p}$ である。そのため第1項が他より $\lambda/r$ 倍以上大きい。場は各時刻の双極子の静電場とほぼ同じになる（準静的な場）。
• 放射帯（$r\gg\lambda$）：第3項が支配的で、磁場も $\ddot{\bm{p}}$ の項だけが残る。

放射帯の場を

$$\bm{E}_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0}{4\pi r}\,\hat{\bm{n}}\times(\hat{\bm{n}}\times\ddot{\bm{p}}),\qquad \bm{B}_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0}{4\pi cr}\,\ddot{\bm{p}}\times\hat{\bm{n}}=\frac1c\,\hat{\bm{n}}\times\bm{E}_{\mathrm{rad}}\tag{11.16}$$

とまとめる。次の2つを使うと、(11.15) の第3項と一致する。

$$\hat{\bm{n}}\times(\hat{\bm{n}}\times\ddot{\bm{p}})=(\hat{\bm{n}}\cdot\ddot{\bm{p}})\hat{\bm{n}}-\ddot{\bm{p}},\qquad \mu_0=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}$$

放射帯の電場と磁場は互いに垂直で、どちらも進行方向 $\hat{\bm{n}}$ に垂直であり、$\left\vert \bm{E}_{\mathrm{rad}}\right\vert =c\left\vert \bm{B}_{\mathrm{rad}}\right\vert$ を満たす。局所的には第9章の平面波と同じ構造を持つ球面波である。

放射パターンと放射電力

双極子モーメントが $z$ 軸の向きを保って大きさだけ変わる場合を考える。観測の向きと $z$ 軸のなす角を $\theta$ とする。$\hat{\bm{z}}=\cos\theta\,\hat{\bm{r}}-\sin\theta\,\hat{\bm{\theta}}$ なので、

$$(\hat{\bm{n}}\cdot\ddot{\bm{p}})\hat{\bm{n}}-\ddot{\bm{p}}=\ddot p\sin\theta\,\hat{\bm{\theta}}$$

であり、

$$\bm{E}_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0\ddot p\sin\theta}{4\pi r}\,\hat{\bm{\theta}},\qquad \bm{B}_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0\ddot p\sin\theta}{4\pi cr}\,\hat{\bm{\varphi}}\tag{11.17}$$

となる（$\varphi$ は方位角）。Poynting ベクトルは $\hat{\bm{\theta}}\times\hat{\bm{\varphi}}=\hat{\bm{r}}$ から

$$\bm{S}=\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{\mu_0}=\frac{\mu_0\ddot p^2}{16\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\hat{\bm{r}}\tag{11.18}$$

で、外向きに $1/r^2$ で減る。単位立体角あたりの放射電力は、$\mathrm{d} P/\mathrm{d}\Omega=r^2\,\bm{S}\cdot\hat{\bm{r}}$ である。

証明

全電力は $\mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ で積分して

$$P=\frac{\mu_0\ddot p^2}{16\pi^2c}\cdot2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{\mu_0\ddot p^2}{16\pi^2c}\cdot2\pi\cdot\frac43=\frac{\mu_0\ddot p^2}{6\pi c}.$$

角度の積分は、$u=\cos\theta$ と置けば $\int_{-1}^1(1-u^2)\,\mathrm{d} u=4/3$ である。振動する場合は $\ddot p=-\omega^2p_0\cos\omega(t-r/c)$ である。余弦の2乗の1周期平均は $1/2$ なので、(11.20) を得る。

結果を読み取る。

1. 向き：放射は双極子の軸に垂直な向き（$\theta=\pi/2$）で最も強く、軸の向きには出ない（図 11.1）。放射帯の電場は、$\ddot{\bm{p}}$ のうち進行方向に垂直な成分だけでできている。したがって $\hat{\bm{n}}\parallel\ddot{\bm{p}}$ の向きには電場が無い。
2. 偏光：電場は $\ddot{\bm{p}}$ と $\hat{\bm{n}}$ が張る面の中にあり、放射は直線偏光している。
3. 振動数：平均電力は $\omega^4$ に比例し、振動数が2倍になると16倍になる。同じ振幅で揺すられる小さな双極子は、短い波長ほど強く散乱する。

アンテナの放射抵抗

波長より十分短い直線導線（長さ $\ell$）に、一様な交流電流 $I(t)=I_0\cos\omega t$ が流れるとする。両端には電荷 $\pm q(t)$ が溜まり、$\dot q=I$ を満たす。双極子モーメントは $p=q\ell$ なので、

$$\dot p=I\ell,\qquad \ddot p=-\omega I_0\ell\sin\omega t$$

である。(11.19) から、平均電力は $\langle P \rangle =\mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/(12\pi c)$ となる。抵抗 $R$ に同じ電流を流したときの平均の Joule 熱 $\frac12RI_0^2$ と比べて、

$$R_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0\omega^2\ell^2}{6\pi c}=\frac{2\pi}{3}Z_0\Bigl(\frac{\ell}{\lambda}\Bigr)^2\simeq 789\ \Omega\times\Bigl(\frac{\ell}{\lambda}\Bigr)^2\tag{11.21}$$

を放射抵抗と呼ぶ。$Z_0=\mu_0c\simeq376.7\ \Omega$ は真空のインピーダンスである。2つ目の等号では $\omega=2\pi c/\lambda$ を使った。アンテナを流れる電流から見ると、放射で失われる電力は、この大きさの抵抗での Joule 熱と同じに見える。

確認テスト

オリジナル

1. 11.2-1 $z$ 方向に振動する電気双極子の放射は、どの向きで最も強く、どの向きで0か。$\theta=45^\circ$ の向きの強さは最大値の何倍か。
2. 11.2-2 大気の分子は、太陽光の電場に揺すられて誘起双極子 $p_0\propto E_0$ を持ち（振動数は分子の共鳴より十分低い）、双極子放射で光を散乱する。波長 400 nm の光は、700 nm の光の何倍強く散乱されるか。
3. 11.2-3 長さ $\ell$ の短いアンテナの中央から給電すると、電流は中央で $I_0$、両端で0の三角形の分布になる。

$$I(z)=I_0\Bigl(1-\frac{2\left\vert z\right\vert }{\ell}\Bigr)$$

補題 11.4 を使って $\dot p$ を求め、放射抵抗が一様な電流の場合の何倍になるかを求めよ。4. 11.2-4 $xy$ 面内で回転する双極子 $\bm{p}=p_0(\cos\omega t,\sin\omega t,0)$ を考える。放射の角分布の時間平均が $1+\cos^2\theta$ に比例することを示し、全放射電力の平均を求めよ。