Larmor の公式と加速する電荷

電磁気学入門　第11章 §11.3　★★★ 加速度 $a$ の電荷は $q^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ の電力を放射する。等速運動する電荷は放射しない

1個の電荷の放射

速さ $v\ll c$ で動く1個の点電荷 $q$ を考える。位置を $\bm{w}(t)$ とすると、原点のまわりの双極子モーメントは $\bm{p}=q\bm{w}$ である。加速度を $\bm{a}=\ddot{\bm{w}}$ とすると、$\ddot{\bm{p}}=q\bm{a}$ である。

双極子近似の条件 $d\ll\lambda$ を考える。運動の時間尺度を $T$ とすると、これは電荷が動く距離 $vT$ が、光の進む距離より十分小さいことに当たる。すなわち $v\ll c$ である。(11.16) と (11.19) に $\ddot{\bm{p}}=q\bm{a}$ を入れれば、次の結果を得る。

この公式は2つのことを述べている。放射の電力は速度によらず加速度の2乗だけで決まり、等速で動く電荷は放射しない。そして放射は加速度の向きに垂直な面で最も強い。

力線の折れ曲がりから見た Larmor の公式

Larmor の公式は、電気力線の形を考えるだけでも導ける。J. J. Thomson による議論を、図 11.2 を見ながら追う。

時刻0より前に原点 $O$ に静止していた電荷が、短い時間 $\Delta t$ のあいだだけ一定の加速度で加速されるとする。その大きさを $a$ とする。その後は、速さ $\Delta v=a\Delta t\ll c$ で等速運動を続ける。十分あとの時刻 $t\gg\Delta t$ の場を考える。

• 外側（半径 $ct$ より外）：加速の影響は光速で広がるので、まだ及んでいない。そこの場は「$O$ に静止し続けている電荷」の Coulomb 場のままである。
• 内側（半径 $c(t-\Delta t)$ より内）：加速が終わった後の状態が反映されている。等速運動する電荷の場で、$\Delta v\ll c$ なので、ほぼ現在位置 $O'$ を中心とする Coulomb 場である。現在位置は、原点から $\Delta v\,t$ だけ離れている。

力線は途中で切れないので、内側の力線と外側の力線は、厚さ $c\Delta t$ の球殻の中でつながっていなければならない。加速の向きとなす角 $\theta$ の力線を考える。内側と外側で力線の位置は、球殻のところで接線方向に $\Delta v\,t\sin\theta$ だけずれている。このずれを球殻の厚さ $c\Delta t$ の中で埋める。したがって球殻の中の電場の接線成分 $E_\perp$ と動径成分 $E_r$ の比は

$$\frac{E_\perp}{E_r}=\frac{\Delta v\,t\sin\theta}{c\Delta t}=\frac{at\sin\theta}{c}=\frac{ar\sin\theta}{c^2}$$

となる（最後に $r=ct$ を使った）。動径成分は、Gauss の法則により Coulomb 場と同じ $E_r=q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$ である。したがって

$$E_\perp=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{ar\sin\theta}{c^2}=\frac{qa\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\tag{11.23}$$

を得る。これは (11.22) の電場の大きさ（$\left\vert \hat{\bm{n}}\times(\hat{\bm{n}}\times\bm{a})\right\vert =a\sin\theta$ を含む）と一致する。

動径成分は $1/r^2$、接線成分は $1/r$ で減る。したがって遠方では、折れ曲がりの部分の電場は接線成分だけになる。これが光速で外へ進む放射のパルスである。

放射の反作用

電荷が放射でエネルギーを失うなら、電荷の運動にはそれに見合うブレーキがかかっているはずである。周期運動（あるいは始めと終わりで $\bm{v}\cdot\bm{a}$ が同じ値に戻る運動）で、この力 $\bm{F}_{\mathrm{rad}}$ を求める。力のする仕事が放射されたエネルギーを打ち消すことを要請すると

$$\int_{t_1}^{t_2}\bm{F}_{\mathrm{rad}}\cdot\bm{v}\,\mathrm{d} t=-\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\int_{t_1}^{t_2}\bm{a}\cdot\bm{a}\,\mathrm{d} t =-\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\Bigl([\bm{v}\cdot\bm{a}]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\dot{\bm{a}}\cdot\bm{v}\,\mathrm{d} t\Bigr)$$

となる（部分積分）。境界項が0になる運動では、被積分関数を比べて

$$\bm{F}_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\,\dot{\bm{a}}=m\tau\,\dot{\bm{a}},\qquad \tau=\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}\tag{11.24}$$

とおくのが自然である。これを Abraham–Lorentz の力と呼ぶ。電子では $\tau=2r_{\mathrm e}/(3c)=6.26\times10^{-24}\ \mathrm s$ である。ここで

$$r_{\mathrm e}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_{\mathrm e}c^2}=2.82\times10^{-15}\ \mathrm m$$

は第2章で導入した古典電子半径である。

相対論的な一般化

Larmor の公式は $v\ll c$ でだけ正しい。速い電荷については、放射電力が Lorentz 変換で不変な量であることを使って一般化する。

電荷が瞬間的に静止して見える慣性系 $K'$ で考える。この系では Larmor の公式が使える。

放射の角分布 $\sin^2\Theta$ は、進行方向を反転しても変わらない。したがって時間 $\mathrm{d} t'$ のあいだに放射される電磁波は、全エネルギー $\mathrm{d} E'$ を持つが全運動量は0である。この4元運動量 $(\mathrm{d} E'/c,\bm{0})$ を元の系へ Lorentz 変換すると、次のようになる。

$$\mathrm{d} E=\gamma\,\mathrm{d} E',\qquad \mathrm{d} t=\gamma\,\mathrm{d} t'\quad\text{（固有時の関係）}$$

したがって $P=\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=\mathrm{d} E'/\mathrm{d} t'=P'$ は系によらない。

瞬間静止系で放射電力を書き、それを不変な形にする。4元運動量の固有時微分 $\mathrm{d} p^\mu/\mathrm{d}\tau$ は、瞬間静止系では $(0,m\bm{a}')$ である。$p^0=\gamma mc$ の変化は速さの2次なので、静止の瞬間には0になるからである。計量 $(+,-,-,-)$ で

$$\frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}=-m^2a'^2$$

なので

$$P=-\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0m^2c^3}\,\frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}.\tag{11.25}$$

この式は両辺とも不変なので、どの系でも成り立つ。普通の速度と加速度で書き直す。次の2つを使う。

$$\frac{d }{d \tau}=\gamma\frac{d }{d t},\qquad \dot\gamma=\frac{\gamma^3(\bm{\beta}\cdot\bm{a})}{c}$$

すると

$$\frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm{d}\tau}=\gamma\frac{d (\gamma mc)}{d t}=m\gamma^4(\bm{\beta}\cdot\bm{a}),\qquad \frac{\mathrm{d}\bm{p}}{\mathrm{d}\tau}=\gamma\frac{d (\gamma m\bm{v})}{d t}=m\gamma^2\bm{a}+m\gamma^4(\bm{\beta}\cdot\bm{a})\bm{\beta}$$

である。2乗の差をとると、$\gamma^2(1-\beta^2)=1$ を使って

$$\frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d} p^\mu}{\mathrm{d}\tau}=m^2\bigl[\gamma^8(\bm{\beta}\cdot\bm{a})^2(1-\beta^2)-2\gamma^6(\bm{\beta}\cdot\bm{a})^2-\gamma^4a^2\bigr] =-m^2\bigl[\gamma^4a^2+\gamma^6(\bm{\beta}\cdot\bm{a})^2\bigr].$$

$a^2-\left\vert \bm{\beta}\times\bm{a}\right\vert ^2=a^2(1-\beta^2)+(\bm{\beta}\cdot\bm{a})^2$ に注意すると、次の形にまとまる。

円運動では $\gamma^4$ の因子が付く。同じエネルギーの電子と陽子を同じ半径で回すと、$\gamma=E/(mc^2)$ が質量に反比例する。そのため軽い電子のほうが、$(m_{\mathrm p}/m_{\mathrm e})^4\simeq10^{13}$ 倍も多く放射する。電子の円形加速器では、この放射（シンクロトロン放射）による損失が到達エネルギーを制限する（確認テスト 11.4-3）。

確認テスト

オリジナル

1. 11.3-1 Larmor の公式 $P=q^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ の右辺の単位が W になることを確かめよ。
2. 11.3-2 磁束密度 $B=1.0\ \mathrm T$ の一様磁場の中で、電子が非相対論的な速さで円運動している（サイクロトロン運動）。Larmor の公式から、運動エネルギー $K$ の減衰の式 $\mathrm{d} K/\mathrm{d} t=-K/\tau_{\mathrm c}$ を導け。時定数を数値で求めよ。
3. 11.3-3 原子の中で角振動数 $\omega_0$ で振動する電子を、復元力 $-m_{\mathrm e}\omega_0^2\bm{x}$ を受ける古典的な振動子とみなす。放射によるエネルギーの減衰率 $\Gamma$ を求めよ。波長 500 nm の光に対応する角振動数で、$1/\Gamma$ を数値で求めよ。
4. 11.3-4 電子が強さ 10 MV/m の一様な電場で直線的に加速されている。速さがほぼ光速のとき、Liénard の公式による放射電力は、電場から得る電力の何倍か。