Liénard–Wiechert ポテンシャル

電磁気学入門　第11章 §11.4　★★ 任意の運動をする点電荷の場は、遅延時刻の位置・速度・加速度だけで厳密に書け、速度場と加速度場に分かれる

点電荷の遅延時刻

点電荷 $q$ が軌道 $\bm{w}(t)$ に沿って運動するとする。速度を $\bm{v}=\dot{\bm{w}}$、$\bm{\beta}=\bm{v}/c$ とし、速さは常に光速より小さいとする。場の点 $(\bm{r},t)$ の場を決めるのは、点電荷の世界線のうち場の点の過去の光円錐の上にある1点である（図 11.3）。その時刻 $t_{\mathrm r}$ は

$$c(t-t_{\mathrm r})=\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t_{\mathrm r})\right\vert\tag{11.27}$$

で決まる。以下、次の記号を使う。

$$\bm{R}=\bm{r}-\bm{w}(t_{\mathrm r}),\qquad R=\left\vert \bm{R}\right\vert ,\qquad \hat{\bm{n}}=\frac{\bm{R}}{R}$$

さらに

$$\kappa=1-\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}(t_{\mathrm r})\tag{11.28}$$

と置く。$\left\vert \bm{\beta}\right\vert <1$ なので $0<\kappa<2$ である。

証明

$h(u)=c(t-u)-\left\vert \bm{r}-\bm{w}(u)\right\vert$ と置く。

1. 端の値：$u=t$ では $h=-\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t)\right\vert \le0$ である。$u\to-\infty$ では、電荷の移動距離は $\left\vert \bm{w}(u)-\bm{w}(t)\right\vert \le v_{\max}(t-u)$ で抑えられる。三角不等式から

$$h(u)\ge c(t-u)-\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t)\right\vert -v_{\max}(t-u)\to+\infty$$

である。2. 存在：$h$ は連続なので、中間値の定理から零点がある。3. 一意性：$h'(u)=-c+\hat{\bm{n}}\cdot\bm{v}=-c\kappa<0$ で、$h$ は狭義単調減少である。したがって零点は1つに限る。

ポテンシャルの導出

点電荷の電荷密度と電流密度は次のとおりである。

$$\rho(\bm{r}',t')=q\,\delta^{(3)}(\bm{r}'-\bm{w}(t')),\qquad \bm{J}=\rho\,\bm{v}(t')$$

遅延ポテンシャル (11.8) にそのまま入れると、デルタ関数の引数の中の遅延時刻も源の点に依存するので扱いにくい。そこで (11.5) に戻り、時間積分を残した形から始める。

$$\phi(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\!\!\int\frac{\rho(\bm{r}',t')\,\delta\bigl(t'-t+\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert /c\bigr)}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V'\,\mathrm{d} t'.$$

先に源の点で積分すると、$\bm{r}'=\bm{w}(t')$ が代入される。

$$\phi(\bm{r},t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\delta\bigl(g(t')\bigr)}{\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t')\right\vert }\,\mathrm{d} t',\qquad g(t')=t'-t+\frac{\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t')\right\vert }{c}$$

となる。$g$ の零点は命題 11.9 の遅延時刻だけで、そこでの微分は

$$g'(t_{\mathrm r})=1+\frac1c\frac{d }{d t'}\left\vert \bm{r}-\bm{w}(t')\right\vert \Big|_{t_{\mathrm r}}=1-\frac{\hat{\bm{n}}\cdot\bm{v}}{c}=\kappa$$

である。(11.1) の $\delta(g(x))$ の公式を使うと、時間積分は $1/(\kappa R)$ になる。ベクトルポテンシャルも、被積分関数に $\bm{v}(t')$ が付くだけで、同じ手順で計算することができる。

静止した電荷では $\kappa=1$ で、Coulomb 電位に戻る。動く電荷では因子 $1/\kappa$ が付く。電荷が場の点に向かって近づいている（$\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}>0$）とき、ポテンシャルは大きくなる。

理由は (11.8) の積分の数え方にある。広がった電荷分布の各部分を、それぞれの遅延時刻で拾う。場の点に近づいてくる分布は、後ろの部分ほど遅い時刻（前へ進んだ位置）で拾われ、実際の大きさより $1/\kappa$ 倍長く見える。点電荷の極限でも、この見かけの体積の比が残る。

場の導出：速度場と加速度場

場を求めるには、2つのポテンシャルを $(\bm{r},t)$ で微分する。微分は $\bm{R}$ と $\bm{\beta}$ を通して遅延時刻にも働くので、まず遅延時刻の微分を求める。(11.27) の両辺 $R=c(t-t_{\mathrm r})$ を時間で微分する。

$$\begin{aligned}\partial_tR&=\hat{\bm{n}}\cdot\partial_t\bm{R}=-\hat{\bm{n}}\cdot\bm{v}\,\partial_tt_{\mathrm r} &&\text{（左辺）}\\ -\hat{\bm{n}}\cdot\bm{v}\,\partial_tt_{\mathrm r}&=c(1-\partial_tt_{\mathrm r}) &&\text{（右辺と等しいと置いた）}\end{aligned}$$

これを解いて

$$\frac{\partial t_{\mathrm r}}{\partial t}=\frac1\kappa,\qquad \nabla t_{\mathrm r}=-\frac{\hat{\bm{n}}}{c\kappa}\tag{11.30}$$

を得る。2つ目は、同じ式を場の点で微分して求める。次の2つを等しいと置いて解けばよい。

$$\nabla R=\hat{\bm{n}}-(\hat{\bm{n}}\cdot\bm{v})\nabla t_{\mathrm r},\qquad \nabla R=-c\nabla t_{\mathrm r}$$

これから、遅延時刻の量の微分の規則が決まる。

$$\partial_t\bm{\beta}=\frac{\dot{\bm{\beta}}}{\kappa},\qquad \partial_t\bm{R}=-\frac{c\bm{\beta}}{\kappa},\qquad \nabla R=-c\nabla t_{\mathrm r}=\frac{\hat{\bm{n}}}{\kappa},\qquad \partial_tR=c\Bigl(1-\frac1\kappa\Bigr)=-\frac{c\,\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}}{\kappa}.$$

ここで $\dot{\bm{\beta}}=\bm{a}/c$ は、遅延時刻での $\mathrm{d}\bm{\beta}/\mathrm{d} t_{\mathrm r}$ である。

ポテンシャルの分母 $\kappa R=R-\bm{R}\cdot\bm{\beta}$ の微分を計算する。$\nabla(\bm{R}\cdot\bm{\beta})$ の $i$ 成分は

$$\partial_i(R_j\beta_j)=\beta_i+(-c\beta_j\beta_j+R_j\dot\beta_j)\partial_it_{\mathrm r}$$

なので

$$\begin{aligned}\nabla(\kappa R)&=\nabla R-\nabla(\bm{R}\cdot\bm{\beta})=\frac{\hat{\bm{n}}}{\kappa}-\bm{\beta}-\frac{(c\beta^2-\bm{R}\cdot\dot{\bm{\beta}})\hat{\bm{n}}}{c\kappa} =\frac{\hat{\bm{n}}}{\kappa}-\bm{\beta}-\frac{\beta^2\hat{\bm{n}}}{\kappa}+\frac{(\bm{R}\cdot\dot{\bm{\beta}})\hat{\bm{n}}}{c\kappa},\\ \partial_t(\kappa R)&=-\frac{c\,\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}}{\kappa}-\frac{-c\beta^2+\bm{R}\cdot\dot{\bm{\beta}}}{\kappa} =\frac{c(\beta^2-\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta})-\bm{R}\cdot\dot{\bm{\beta}}}{\kappa}\end{aligned}$$

である。1行目では $\partial_iR_j=\delta_{ij}-v_j\partial_it_{\mathrm r}$ と $\partial_it_{\mathrm r}=-n_i/(c\kappa)$ を使った。$k=q/(4\pi\varepsilon_0)$ と置くと

$$\phi=\frac{k}{\kappa R},\qquad \bm{A}=\frac{k\bm{\beta}}{c\kappa R}$$

なので

$$\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}=\frac{k}{(\kappa R)^2}\Bigl[\nabla(\kappa R)+\frac{\bm{\beta}}{c}\,\partial_t(\kappa R)\Bigr]-\frac{k\,\dot{\bm{\beta}}}{c\kappa^2R}.$$

角括弧の中を、加速度を含まない項と含む項に分けて整理する。含まない項は、$\kappa+\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}=1$ を使って

$$\frac{(1-\beta^2)\hat{\bm{n}}}{\kappa}+\frac{\bm{\beta}}{\kappa}\bigl(-\kappa+\beta^2-\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\beta}\bigr)=\frac{(1-\beta^2)(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})}{\kappa},$$

となる。含む項は $(\bm{R}\cdot\dot{\bm{\beta}})(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})/(c\kappa)$ である。最後の項と合わせると、加速度を含む部分は

$$\frac{k}{c\kappa^3R}\bigl[(\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{\beta}})(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})-\kappa\dot{\bm{\beta}}\bigr] =\frac{k}{c\kappa^3R}\,\hat{\bm{n}}\times\bigl((\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})\times\dot{\bm{\beta}}\bigr)$$

となる。等号は、次の恒等式を $\bm{X}=\hat{\bm{n}}-\bm{\beta}$（$\hat{\bm{n}}\cdot\bm{X}=\kappa$）に使った。

$$\hat{\bm{n}}\times(\bm{X}\times\dot{\bm{\beta}})=\bm{X}(\hat{\bm{n}}\cdot\dot{\bm{\beta}})-\dot{\bm{\beta}}(\hat{\bm{n}}\cdot\bm{X})$$

磁場も $\bm{B}=\nabla\times(\bm{\beta}\phi/c)$ を同じ規則で微分して求まる。結果をまとめる。

• 第1項は速度だけで決まり、$1/R^2$ で減る。これを速度場（一般化された Coulomb 場）と呼ぶ。
• 第2項は加速度に比例し、$1/R$ で減る。これを加速度場（放射場）と呼ぶ。

§11.1 の議論のとおり、遠方へエネルギーを運ぶのは加速度場だけである。低速の極限では $\kappa\to1$ で、加速度場は $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2R}\hat{\bm{n}}\times(\hat{\bm{n}}\times\bm{a})$ となる。これは Larmor の場 (11.22) である。

一様に運動する電荷：第10章との照合

加速度が0なら加速度場は消え、速度場だけが残る。速度が一定の電荷の場は、第10章 §10.5 で静止系の Coulomb 場を Lorentz 変換して求めた（定理 10.7）。

第10章で $\bm{R}$ と書いた現在位置からのベクトルを、この章では $\bm{R}_{\mathrm p}$ と書く。この章の $R$ は、遅延時刻の位置からの距離に使っているからである。その結果を、電荷の現在位置からの変位 $\bm{R}_{\mathrm p}=\bm{r}-\bm{w}(t)$ と、それが速度となす角 $\psi$ で書くと

$$\bm{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\psi)^{3/2}}\,\frac{\bm{R}_{\mathrm p}}{R_{\mathrm p}^3},\qquad \bm{B}=\frac{\bm{v}\times\bm{E}}{c^2}\tag{11.32}$$

である。これは、静止系の Coulomb 場の運動方向の成分はそのまま、垂直な成分は $\gamma$ 倍になるという §10.5 の変換則から出る形である。この場は電荷の現在位置から放射状に出ている。遅延時刻の位置から計算した (11.31) がこれと一致することを示す。

証明

一様運動では $\bm{w}(t)=\bm{w}(t_{\mathrm r})+\bm{v}(t-t_{\mathrm r})$ である。$c(t-t_{\mathrm r})=R$ なので

$$\bm{R}_{\mathrm p}=\bm{r}-\bm{w}(t)=\bm{R}-\bm{v}\,\frac Rc=R(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta}).$$

したがって速度場の分子 $(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})/R^2$ は $\bm{R}_{\mathrm p}/R^3$ に等しく、

$$\frac{(1-\beta^2)(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})}{\kappa^3R^2}=\frac{(1-\beta^2)\bm{R}_{\mathrm p}}{(\kappa R)^3}$$

となる。残りは $\kappa R=R_{\mathrm p}\sqrt{1-\beta^2\sin^2\psi}$ を示せばよい。

1. 2乗を比べる：$\kappa R=R-\bm{\beta}\cdot\bm{R}$ を2乗し、$R_{\mathrm p}^2=\left\vert \bm{R}-\bm{\beta} R\right\vert ^2$ と比べると

$$(\kappa R)^2=R^2-2R\,\bm{\beta}\cdot\bm{R}+(\bm{\beta}\cdot\bm{R})^2,\qquad R_{\mathrm p}^2=R^2-2R\,\bm{\beta}\cdot\bm{R}+\beta^2R^2$$

なので、次の関係を得る。

$$(\kappa R)^2=R_{\mathrm p}^2-\bigl(\beta^2R^2-(\bm{\beta}\cdot\bm{R})^2\bigr)=R_{\mathrm p}^2-\left\vert \bm{\beta}\times\bm{R}\right\vert ^2$$ 2. 外積を書き換える：$\bm{\beta}\times\bm{R}_{\mathrm p}=\bm{\beta}\times(\bm{R}-\bm{\beta} R)=\bm{\beta}\times\bm{R}$ である。したがって $\left\vert \bm{\beta}\times\bm{R}\right\vert ^2=\beta^2R_{\mathrm p}^2\sin^2\psi$ となり、

$$(\kappa R)^2=R_{\mathrm p}^2(1-\beta^2\sin^2\psi)$$

を得る。3. 磁場：$\bm{B}=\hat{\bm{n}}\times\bm{E}/c$ で、電場は $\hat{\bm{n}}-\bm{\beta}$ に平行である。したがって

$$\hat{\bm{n}}\times\bm{E}=\{(\hat{\bm{n}}-\bm{\beta})+\bm{\beta}\}\times\bm{E}=\bm{\beta}\times\bm{E}$$

となり、$\bm{B}=\bm{v}\times\bm{E}/c^2$ に一致する。

遅延時刻の位置から計算しているのに、結果は現在位置を中心とする場になった。等速運動では、電荷が遅延時刻から現在までに進む分を、速度場の $\hat{\bm{n}}-\bm{\beta}$ がちょうど補っている。電荷が加速すると、この補い方は崩れ、加速度場が現れる。

速い電荷の放射の向き

加速度場から、速い電荷の放射の角分布を求める。速度と加速度が平行な直線加速では、$\bm{\beta}\times\dot{\bm{\beta}}=0$ である。したがって加速度場の分子は $\hat{\bm{n}}\times(\hat{\bm{n}}\times\dot{\bm{\beta}})$ になる。その大きさは $\dot\beta\sin\theta$ である（$\theta$ は観測の向きと速度のなす角）。放射の電場の大きさは

$$\left\vert \bm{E}_{\mathrm{rad}}\right\vert =\frac{qa\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0c^2\kappa^3R},\qquad \kappa=1-\beta\cos\theta$$

である。

ここで注意が1つ要る。Poynting ベクトルの流束 $R^2\left\vert \bm{S}\right\vert \,\mathrm{d}\Omega$ は、場の点の時刻 $t$ についての電力である。電荷が遅延時刻の幅 $\mathrm{d} t_{\mathrm r}$ に放射したエネルギーは、(11.30) により幅 $\mathrm{d} t=\kappa\,\mathrm{d} t_{\mathrm r}$ に受け取られる。電荷が失う電力を数えるには、遅延時刻あたりに直して $\kappa$ を掛ける。

$$\frac{d P}{d \Omega}=\kappa R^2\,\frac{\left\vert \bm{E}_{\mathrm{rad}}\right\vert ^2}{\mu_0c}=\frac{q^2a^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\,\frac{\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^5}.\tag{11.33}$$

全立体角で積分すると $\int\sin^2\theta(1-\beta\cos\theta)^{-5}\mathrm{d}\Omega=\frac{8\pi}{3}\gamma^6$ となる。したがって $P=q^2\gamma^6a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ を得る。これは Liénard の公式 (11.26) の平行な場合と一致する。

分母の $(1-\beta\cos\theta)^5$ により、放射は前方へ集中する（図 11.4）。最大の向きを求める。$x=\cos\theta$ として $(1-x^2)/(1-\beta x)^5$ を微分して0と置く。すると $3\beta x^2+2x-5\beta=0$ となる。その正の根

$$\cos\theta_{\max}=\frac{\sqrt{1+15\beta^2}-1}{3\beta}\tag{11.34}$$

で与えられる。光速に近づくと $\theta_{\max}\simeq1/(2\gamma)$ となり、放射は幅 $1/\gamma$ 程度の細い円錐に絞られる。円運動するときも同様に、放射は速度の向きの細い円錐に集まり、これがシンクロトロン放射の強い指向性の理由である。

確認テスト

オリジナル

1. 11.4-1 点電荷の遅延時刻がただ1つに決まるために、電荷の速さについてどの条件が使われたか。1行で答えよ。
2. 11.4-2 点電荷が $x$ 軸上を速さ $v$ で等速運動している。電荷の前方の軸上の点で、Liénard–Wiechert のスカラーポテンシャルを、電荷の現在位置からの距離 $R_{\mathrm p}$ で表せ。
3. 11.4-3 全エネルギー 3.0 GeV の電子が、半径 $r_0=10\ \mathrm m$ の円軌道を回る。Liénard の公式から、1周あたりに放射で失うエネルギーを求めよ。
4. 11.4-4 一様運動する点電荷の電場 (11.32) について、電荷の現在位置を中心とする球面を通る流束が $q/\varepsilon_0$ になることを示せ。