この章のまとめ

電磁気学入門　第11章 §11.5

この章では、時間変化する源が作る場を、第8章の Lorenz ゲージの方程式から出発して求めた。

1. 遅延ポテンシャル：波動方程式の遅延 Green 関数 $\delta(t-r/c)/(4\pi r)$ は、源の影響が光速で広がる薄い球殻として伝わることを表す。それを重ね合わせたものが遅延ポテンシャル (11.8) で、連続の式のもとで Lorenz 条件を満たし、Maxwell 方程式の解になる。そこから求めた Jefimenko の式 (11.10) では、源の時間微分に比例して $1/R$ で減る項が現れる。この項だけが無限遠までエネルギーを運び、放射とはこの項のことである。

2. 双極子放射：源が波長に比べて小さいとき、$1/R$ の項は双極子モーメントの2階微分だけで決まる。放射帯の場は局所的に平面波の構造を持つ。放射パターンは $\sin^2\theta$、全電力は $\mu_0\ddot p^2/(6\pi c)$ である。振動する双極子では、全電力は $\omega^4$ に比例する。この結果は、アンテナの放射抵抗 $789\ \Omega\times(\ell/\lambda)^2$ や、短い波長の光ほど強く散乱される理由を説明する。

3. Larmor の公式：1個の電荷にあてはめると、$\ddot{\bm{p}}=q\bm{a}$ により Larmor の公式 $P=q^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ になる。ここから次のことが出る。

   • 加速度の無い電荷は放射しない。
   • 古典的な原子は $10^{-11}\ \mathrm s$ で崩壊してしまう。
   • 自由電子による光の散乱断面積は $\frac{8\pi}{3}r_{\mathrm e}^2$ である。

放射電力が Lorentz 不変であることを使うと、Larmor の公式は Liénard の公式 (11.26) へ一般化される。円運動する電子の放射は $\gamma^4$ 倍に強まる。4. Liénard–Wiechert：任意に運動する点電荷の場を厳密に求めた。Liénard–Wiechert ポテンシャル (11.29) は、Coulomb 電位に因子 $1/\kappa$ が付いた形である。4元ベクトルとしては $A^\mu\propto u^\mu/(u_\nu R^\nu)$ とまとまる。微分して得た場 (11.31) は、$1/R^2$ で減る速度場と $1/R$ で減る加速度場に分かれる。等速運動では、速度場が第10章 §10.5 の Lorentz 変換した Coulomb 場と一致し、遅延の効果と運動の効果がちょうど打ち消し合うことを確かめた。加速度場は低速で Larmor の場に戻り、高速では放射を前方の幅 $1/\gamma$ の円錐に集める。

ここで得た遅延 Green 関数と Liénard–Wiechert ポテンシャルは、電磁場を共変な形で扱うときの基本の道具である。

『相対論入門』第13章 §13.4 では、重力波の放射を四重極公式で扱う。そこでは電気双極子放射と同じく「源の多重極モーメントの時間微分が放射を決める」構造が現れる。しかし重力では運動量保存のために双極子放射が無く、四重極が最低次になる。この章の電気双極子放射と比べながら読むと、その違いが追いやすい。