電磁場の Lorentz 変換

電磁気学入門　第10章 §10.5　★★★ テンソルの変換則から、運動方向の成分は変わらず、垂直な成分は電場が $\gamma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$、磁場が $\gamma(\bm{B}-\bm{v}\times\bm{E}/c^2)$ になる

テンソルの変換則から成分の公式へ

$F^{\mu\nu}$ は2階のテンソルである。§10.1 の標準配置のブーストでは、次のように変換される。

$$F'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta F^{\alpha\beta},\qquad\text{行列で書けば}\quad F'=\Lambda F\Lambda^{\mathsf T}\tag{10.37}$$

(10.10) で0でない成分は、次のものだけである。

$$\Lambda^0{}_0=\Lambda^1{}_1=\gamma,\qquad \Lambda^0{}_1=\Lambda^1{}_0=-\gamma\beta,\qquad \Lambda^2{}_2=\Lambda^3{}_3=1$$

6つの成分を順に計算する。

$F'^{01}$：添字が0と1の項だけが残り、

$$F'^{01}=\Lambda^0{}_0\Lambda^1{}_1F^{01}+\Lambda^0{}_1\Lambda^1{}_0F^{10}=\gamma^2F^{01}-\gamma^2\beta^2F^{01}=F^{01}$$

なので $E'_x=E_x$ である。

$F'^{02}$：$\Lambda^2{}_\beta$ で0でないのは対角成分だけなので

$$F'^{02}=\Lambda^0{}_0F^{02}+\Lambda^0{}_1F^{12}=\gamma\Bigl(-\frac{E_y}{c}\Bigr)-\gamma\beta(-B_z)=-\frac{\gamma}{c}(E_y-vB_z)$$

となり、$E'_y=\gamma(E_y-vB_z)$ である。同様に

$$F'^{03}=\Lambda^0{}_0F^{03}+\Lambda^0{}_1F^{13}=-\gamma\frac{E_z}{c}-\gamma\beta B_y$$

から $E'_z=\gamma(E_z+vB_y)$ となる。

$F'^{23}$：$\Lambda^2{}_2=\Lambda^3{}_3=1$ だけが寄与する。したがって $F'^{23}=F^{23}$ である。すなわち $B'_x=B_x$ である。

$F'^{12}$：

$$F'^{12}=\Lambda^1{}_0F^{02}+\Lambda^1{}_1F^{12}=-\gamma\beta\Bigl(-\frac{E_y}{c}\Bigr)+\gamma(-B_z)=-\gamma\Bigl(B_z-\frac{v}{c^2}E_y\Bigr)$$

なので $B'_z=\gamma(B_z-vE_y/c^2)$ である。$F'^{31}=-B'_y$ も同様で、

$$F'^{31}=\Lambda^1{}_0F^{30}+\Lambda^1{}_1F^{31}=-\gamma\beta\frac{E_z}{c}-\gamma B_y$$

から $B'_y=\gamma(B_y+vE_z/c^2)$ となる。

3次元ベクトルの形と低速の極限

$x$ 方向という特別な向きを使わずに書く。$\bm{v}=v\hat{\bm{x}}$ のとき、

$$\bm{v}\times\bm{B}=v(0,-B_z,B_y),\qquad \bm{v}\times\bm{E}=v(0,-E_z,E_y)$$

である。したがって (10.38) と (10.39) の $y,z$ 成分は、次の2つのベクトルの $y,z$ 成分そのものである。

$$\gamma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}),\qquad \gamma\Bigl(\bm{B}-\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E}\Bigr)$$

2つの外積は速度に垂直なので、速度に平行な成分（$\parallel$）と垂直な成分（$\perp$）に分けて

$$\bm{E}'_\parallel=\bm{E}_\parallel,\quad \bm{E}'_\perp=\gamma\bigl(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}\bigr)_\perp,\qquad \bm{B}'_\parallel=\bm{B}_\parallel,\quad \bm{B}'_\perp=\gamma\Bigl(\bm{B}-\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E}\Bigr)_\perp\tag{10.40}$$

と書くことができる。両辺が3次元のベクトルの式で、座標軸の向きを使っていないので、任意の向きの $\bm{v}$ についても成り立つ。

この変換で2つの不変量が保たれることは、§10.3 で一般に示したが、成分の公式から直接確かめることもできる（確認テスト 10.5-5）。

$v\ll c$ では $\gamma\simeq1$ とおいて

$$\bm{E}'\simeq\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B},\qquad \bm{B}'\simeq\bm{B}-\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E}\tag{10.41}$$

となり、§10.1 で2つの例から推した (10.8) に一致する。

• 第1式は、第7章 §7.1 の運動起電力と誘導起電力の一致の理由である。磁場中を動く導体の電荷が受ける力 $q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$ は、導体とともに動く系では電場 $\bm{E}'$ による力に見える。
• 第2式は、静止した電荷を動く系から見ると Biot–Savart の磁場 (10.7) が現れることを表す。

Galilei 変換から推した (10.5) は、$v\ll c$ でも第2式の右辺第2項を落としていた。$E\ll cB$ の場（磁気的な場）ではその項が無視できるが、$E\gtrsim cB$ の場では無視できない。

一様に動く点電荷の場

点電荷 $q$ が $K$ で等速直線運動をしている。速度は $v\hat{\bm{x}}$ で、時刻0に原点を通るとする。電荷とともに動く系 $K'$ では、電荷は原点に静止していて、場は Coulomb 場

$$\bm{E}'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\bm{r}'}{r'^3},\qquad \bm{B}'=\bm{0},\qquad \bm{r}'=(x',y',z')$$

だけである。これを (10.38) と (10.39) の逆変換（$v\to-v$）で、もとの系へ戻す。$B'=0$ なので

$$E_x=E'_x,\qquad E_y=\gamma E'_y,\qquad E_z=\gamma E'_z,\qquad B_x=0,\qquad B_y=-\frac{\gamma v}{c^2}E'_z,\qquad B_z=\frac{\gamma v}{c^2}E'_y$$

となる。もとの系の時空点 $(t,x,y,z)$ に対応する $K'$ の座標は、(10.9) から

$$x'=\gamma(x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z$$

である（$K'$ の場は時間によらないので $t'$ は使わない）。電荷の「現在の位置」$(vt,0,0)$ から観測点へのベクトルを $\bm{R}=(x-vt,y,z)$ とおく。$r'^2=\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2$ なので

$$E_x=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma(x-vt)}{r'^3},\qquad E_y=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma y}{r'^3},\qquad E_z=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma z}{r'^3}$$

となる。3つの成分がそろって $\bm{R}$ に比例しているので、電場は電荷の現在の位置から放射状に出る。$\bm{R}$ と速度のなす角を $\psi$ とすると

$$x-vt=R\cos\psi,\qquad y^2+z^2=R^2\sin^2\psi$$

で、

$$r'^2=\gamma^2R^2\cos^2\psi+R^2\sin^2\psi=\gamma^2R^2\Bigl(\cos^2\psi+\frac{\sin^2\psi}{\gamma^2}\Bigr)=\gamma^2R^2\bigl(1-\beta^2\sin^2\psi\bigr)$$

である。

証明

電場は上の計算で $\bm{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\gamma\bm{R}/r'^3$ と求めた。次を入れて $\gamma/\gamma^3=1-\beta^2$ とすれば、第1式になる。

$$r'^3=\gamma^3R^3(1-\beta^2\sin^2\psi)^{3/2}$$

磁場は次のとおりである。

$$B_x=0,\qquad B_y=-\frac{\gamma v}{c^2}E'_z=-\frac{v}{c^2}E_z,\qquad B_z=\frac{\gamma v}{c^2}E'_y=\frac{v}{c^2}E_y$$

これは $\bm{v}\times\bm{E}=v(0,-E_z,E_y)$ を $c^2$ で割ったものに等しい。

電場の強さは向きによって違う。

• 運動の方向（$\psi=0,\pi$）では、$(1-\beta^2)=1/\gamma^2$ 倍に弱まる。
• 運動に垂直な方向（$\psi=\pi/2$）では、$(1-\beta^2)/(1-\beta^2)^{3/2}=\gamma$ 倍に強まる。

電気力線は運動に垂直な面の近くへ寄せ集められる。$K'$ で角 $\theta'$ の方向へ出る力線は、もとの系では

$$\tan\psi=\frac{y}{x-vt}=\frac{y'}{x'/\gamma}=\gamma\tan\theta'$$

の方向へ出る。したがって $K'$ で等間隔だった力線が、もとの系では赤道面の側へ集まる（図 10.2）。

この場が Gauss の法則を満たしていることを確かめる。電荷の現在の位置を中心とする半径 $R$ の球面で、流束を計算する。$\mathrm{d} S=2\pi R^2\sin\psi\,\mathrm{d}\psi$ なので

$$\oint\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(1-\beta^2)\,2\pi\int_0^\pi\frac{\sin\psi\,\mathrm{d}\psi}{(1-\beta^2\sin^2\psi)^{3/2}}$$

となる。$s=\cos\psi$ とおくと $1-\beta^2\sin^2\psi=1-\beta^2+\beta^2s^2$ なので、

$$\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d} s}{(1-\beta^2+\beta^2s^2)^{3/2}}=\biggl[\frac{s}{(1-\beta^2)\sqrt{1-\beta^2+\beta^2s^2}}\biggr]_{-1}^{1}=\frac{2}{1-\beta^2}$$

である（右辺の原始関数を微分すると被積分関数に戻る）。したがって流束は $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot2\pi\cdot2=q/\varepsilon_0$ となり、速さによらない。電荷の不変性と合っている。

低速の極限 $\beta\to0$ では、電場は Coulomb 場に戻り、磁場は

$$\bm{B}\simeq\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\frac{q\hat{\bm{R}}}{4\pi\varepsilon_0R^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\bm{v}\times\hat{\bm{R}}}{R^2}$$

となって、§10.1 の (10.6) に一致する。Biot–Savart の法則は、この厳密な結果の低速の近似である。

速い電荷のそばを通る観測者から見た場の時間変化も、(10.42) から求めることができる。電荷が $x$ 軸に沿って動き、観測者が $(0,b,0)$ にいるとする。$x-vt=-vt$、$y=b$ なので

$$E_y(t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma b}{(b^2+\gamma^2v^2t^2)^{3/2}},\qquad E_x(t)=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma vt}{(b^2+\gamma^2v^2t^2)^{3/2}},\qquad B_z=\frac{v}{c^2}E_y\tag{10.43}$$

である。$E_y$ の最大値は、時刻0での値 $\gamma q/(4\pi\varepsilon_0b^2)$ である。これは静止した電荷の $\gamma$ 倍で、その値が続く時間はおよそ $b/(\gamma v)$ に縮む（図 10.3）。時間で積分すると、$u=\gamma vt/b$ と置き換えて $\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d} u/(1+u^2)^{3/2}=2$ から

$$\int_{-\infty}^{\infty}E_y\,\mathrm{d} t=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma b}{b^3}\cdot\frac{b}{\gamma v}\cdot2=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0bv}$$

で、$\gamma$ によらない。速い電荷の場は、強さが $\gamma$ 倍、続く時間が $1/\gamma$ 倍になって、そばを通る電荷が受ける力積は変わらない。$\gamma\gg1$ では、電場の垂直成分と $cB_z$ がほぼ等しく、互いに直交する。したがってこの場は、進行方向へ進む電磁波のパルスに近い形をしている。

確認テスト

オリジナル

1. 10.5-1 $x$ 方向のブーストで変わらない場の成分はどれか。また、$K$ に一様な電場 $\bm{E}=E_0\hat{\bm{y}}$ だけがあるとする。$\beta=0.60$ で $x$ 方向に動く系での電場と磁場を求めよ。
2. 10.5-2 $\beta=0.80$ で動く点電荷について、同じ距離で比べた電場の強さの比（運動に垂直な方向 $/$ 運動の方向）を求めよ。
3. 10.5-3 一様な線電荷密度 $\lambda_0$ を持つ無限に長い直線がある。直線は自身の静止系 $K'$ で、$x$ 軸に沿って静止している。もとの系では、この直線は $x$ 方向に速さ $v$ で動く。

$K$ で直線から距離 $d$ の点の電場と磁場を、次の2通りで求めて一致を確かめよ。

1. (a) 場の変換 (10.38)・(10.39) から。
2. (b) 4元電流の変換と Gauss の法則・Ampère の法則から。
3. 10.5-4 電場と磁場のどちらにも垂直な向き $\hat{\bm{n}}=\bm{E}\times\bm{B}/\left\vert \bm{E}\times\bm{B}\right\vert$ に、速さ $v$ で動く系を考える。次の条件のとき $\bm{E}'\parallel\bm{B}'$ となることを、(10.40) から示せ。

$$\frac{\beta}{1+\beta^2}=\frac{\left\vert \bm{E}\times\bm{B}\right\vert }{c(E^2/c^2+B^2)}$$

例題 10.3 の場でこの $\beta$ を求めよ。$E'/c$ と $B'$ が例題の値になることを確かめよ。5. 10.5-5 (10.38)・(10.39) から、次の2式を直接示せ。

$$E'^2-c^2B'^2=E^2-c^2B^2,\qquad \bm{E}'\cdot\bm{B}'=\bm{E}\cdot\bm{B}$$