この章のまとめ

電磁気学入門　第10章 §10.6

1. なぜ相対論が要るか：動く磁石と導体の例では、同じ電流が、磁石の系では磁気力 $q\bm{v}\times\bm{B}$ によるもの、導線の系では誘導電場によるものとして説明された。この非対称から、電場と磁場の分け方が慣性系によることが分かる。Galilei 変換から推した場の変換 (10.5) は、静止した電荷を動く系から見たときに現れる Biot–Savart の磁場を説明できない。時間と空間の変換を Lorentz 変換に取り替える必要があった。
2. 4元電流と4元ポテンシャル：法則が形を保つことを示すには、法則を4元ベクトルとテンソルの式に書けばよい。電荷の不変性と長さの収縮から、電荷密度は $\gamma_u\rho_0$ となる。したがって $J^\mu=(c\rho,\bm{J})=\rho_0u^\mu$ は4元ベクトルになる。Lorenz ゲージのポテンシャルの方程式は $\Box A^\mu=\mu_0J^\mu$ にまとまり、$A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ も4元ベクトルとして変換される。連続の式と Lorenz 条件は、どちらも4元発散がゼロという不変な式 (10.16)・(10.19) になる。
3. 電磁場テンソル：電場と磁場は6成分を持つので、4元ベクトルには収まらない。それらは反対称な微分 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ の成分になる。

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},\qquad F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B_k,\qquad \frac{d p^\mu}{d \tau}=qF^{\mu\nu}u_\nu$$

電磁場テンソルとその双対を縮約すると、2つの不変量 $E^2-c^2B^2$ と $\bm{E}\cdot\bm{B}$ が得られる。電場だけ・磁場だけの系があるかどうかは、この2つで決まる。4. 共変な Maxwell 方程式：Maxwell 方程式の4本は、次の2本のテンソルの式になり、どの慣性系でも同じ形で成り立つ。

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu,\qquad \partial_\mu\tilde F^{\mu\nu}=0$$

電荷の保存は第1式から自動的に出て、第2式は電磁場テンソルをポテンシャルで書けば自動的に満たされる。第8章のエネルギーと運動量の保存則は、エネルギー運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ の式 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^\nu{}_\lambda J^\lambda$ の時間成分と空間成分である。その成分は次のとおりである。

$$T^{00}=u,\qquad T^{0i}=\frac{S_i}{c},\qquad T^{ij}=-T_{ij}$$ 5. 場の変換：テンソルとしての変換則から、電場と磁場の変換 (10.40) が導かれる。運動方向の成分は変わらず、垂直な成分は次のようになる。

$$\gamma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}),\qquad \gamma\Bigl(\bm{B}-\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E}\Bigr)$$

低速の極限で、これは運動起電力と Biot–Savart の磁場の両方を含む。6. 動く点電荷：静止した点電荷の Coulomb 場をこの規則で変換すると、一様に動く点電荷の場 (10.42) が得られる。電場は現在の位置から放射状に出る。運動に垂直な方向へ $\gamma$ 倍に強まり、運動の方向へ $1/\gamma^2$ 倍に弱まる。磁場は $\bm{v}\times\bm{E}/c^2$ である。

次の第11章では、遅延ポテンシャルから加速する電荷の放射を導く。Liénard–Wiechert の場の速度に依存する部分が、この章の (10.42) に一致することを確かめる。『相対論入門』第6章では、この章の電磁場テンソルと共変な Maxwell 方程式を出発点にする。一様な磁場中の運動とエネルギー運動量テンソルの保存則をテンソルの計算として扱い、同じ巻の第11章 §11.4 で曲がった時空の電磁場へ一般化する。