無次元量は次元行列の核である

次元解析入門　第3章 §3.2

$A_1,\dots,A_m$ のべきの積

$$\Pi = A_1^{x_1}A_2^{x_2}\cdots A_m^{x_m}$$

の次元は $\mathsf{M}^{\sum_j a_{1j}x_j}\mathsf{L}^{\sum_j a_{2j}x_j}\mathsf{T}^{\sum_j a_{3j}x_j}$ である。$\Pi$ が無次元になる条件は、すべての基本量の指数が0になること、つまり

$$D\bm{x} = \bm 0,\qquad \bm x=(x_1,\dots,x_m)^{\mathsf T}$$

である。無次元量を作る指数の組は、次元行列 $D$ の核（零空間）のベクトルとちょうど一致する。

二つの無次元量の積や商、べきもまた無次元量である。これは核のベクトルの和やスカラー倍が再び核に入ることに対応する。そこで「互いに独立な無次元量」を、核の基底に対応する無次元量と定める。線形代数の次元定理により、核の次元は $m-\operatorname{rank}D$ なので、

$$\text{互いに独立な無次元量の個数} = m - \operatorname{rank} D$$

となる。基本量の行がすべて独立に現れる普通の問題では $\operatorname{rank}D=n$ となり、個数は「物理量の数 $-$ 基本量の数」である。前節の減衰振動のように、ある基本量がどの量にも現れない場合や、基本量どうしがいつも同じ組で現れる場合には $\operatorname{rank}D<n$ になるので、個数を数えるときは基本量の数でなく階数を使う。