定理の主張と、なぜ成り立つか

次元解析入門　第3章 §3.3

定理は2つの部分からなる。前半の「無次元量は $m-r$ 個ある」は前節の線形代数で示した。大事なのは後半の「関係式は無次元量だけで書ける」という部分で、ここに物理の要請が入る。ここでは後半の証明の筋道を示す。

後半の証明の筋道

次元行列の列のうち、互いに線形独立な $r$ 本を選び、対応する量を $A_1,\dots,A_r$ とする（これを繰り返し変数と呼ぶ）。残りの量 $A_{r+1},\dots,A_m$ の列は、選んだ $r$ 本の列の線形結合で書けるので、各 $A_k$（$k>r$）に対して指数 $p_{k1},\dots,p_{kr}$ を選べば

$$\Pi_{k-r} = \frac{A_k}{A_1^{p_{k1}}\cdots A_r^{p_{kr}}}$$

が無次元になる。これで $m-r$ 個の無次元量ができた。元の関係式は $A_k$ を $\Pi$ と $A_1,\dots,A_r$ で書き換えれば

$$g(A_1,\dots,A_r,\ \Pi_1,\dots,\Pi_{m-r})=0$$

となる。

ここで単位を取り替える。長さ・質量・時間の単位をそれぞれ $1/\lambda_L,1/\lambda_M,1/\lambda_T$ 倍にすると、$A_1,\dots,A_r$ の数値はそれぞれの次元に応じた倍率で変わり、$\Pi$ の数値は変わらない。$A_1,\dots,A_r$ の列は線形独立なので、$\lambda$ をうまく選べば $A_1,\dots,A_r$ の数値をそれぞれ独立に好きな正の値へ動かせる（倍率の対数は、$\log\lambda$ を次元行列の部分行列で写したものになり、この写像は階数 $r$ なので $\mathbb R^r$ 全体に届く）。一方で関係式は、どの単位系でも成り立たなければならない。すると、$\Pi$ を固定したまま$A_1,\dots,A_r$ をいくら動かしても $g=0$ が成り立ち続けることになり、$g$ は $A_1,\dots,A_r$ に依存できない。したがって関係は $\Pi_1,\dots,\Pi_{m-r}$ だけの式 $F(\Pi_1,\dots,\Pi_{m-r})=0$ になる。

数学的に厳密な証明（$f$ の滑らかさの扱いなど）は、本間仁・春日屋伸昌『次元解析・最小2乗法と実験式』（コロナ社）にある。