円管の中の流れ

次元解析入門　第5章 §5.4　★★★ レイノルズ数が導入される典型例。第5.5節の助走区間はこの節の延長にある

ハーゲン–ポアズイユの法則

1840年代、ポアズイユはガラス管を流れる液体（血液の研究が動機だった）の実験から、流量が両端の圧力差に比例し、管の半径の4乗に比例することを報告した。ハーゲンも独立に管の半径と流量の関係を調べた。長さ $L$、半径 $r$ の円管に、圧力差 $\Delta P$ で粘性流体をゆっくり流すときの流量 $Q$ は

$$Q = \frac{\pi r^4\Delta P}{8\mu L}$$

であり、これをハーゲン–ポアズイユの法則と呼ぶ。上水の輸送設備の設計などで使われる。

次元解析で半径の4乗を出す

流れがゆっくりで慣性が無視できるなら、密度 $\rho$ は関係しない（ナビエ–ストークス方程式で左辺を省くと$\rho$ が消える）。関係する量は $Q$（$\mathsf{L}^3\mathsf{T}^{-1}$）、$r$（$\mathsf{L}$）、圧力勾配 $G=\Delta P/L$（$\mathsf{M}\mathsf{L}^{-2}\mathsf{T}^{-2}$）、$\mu$（$\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1}$）の4つで、階数は3、無次元量は1個である。$\Pi=Q\,r^{x}G^{y}\mu^{z}$ の条件$\mathsf{M}:y+z=0$、$\mathsf{L}:3+x-2y-z=0$、$\mathsf{T}:-1-2y-z=0$ を解くと $y=-1,\ z=1,\ x=-4$ で、

$$\Pi=\frac{Q\mu}{G r^4},\qquad Q = C\,\frac{r^4\,\Delta P}{\mu L}$$

となる。ポアズイユが実験で見つけた「半径の4乗」は次元解析だけから出てくる。係数 $C=\pi/8$ は、円管の中の流速分布 $u(s)=G(r^2-s^2)/(4\mu)$（$s$ は中心からの距離。放物線になる）を断面で積分して得られる。

壁面せん断応力

静止した管の壁には、流れに引きずられる向きの接線応力がはたらく。これを壁面せん断応力 $\sigma$ と呼ぶ。流速分布を微分すると $\sigma=\mu\,|\mathrm{d} u/\mathrm{d} s|_{s=r}=r\Delta P/(2L)=D\Delta P/(4L)$ で、これは管の中の流体にはたらく圧力の力と壁の摩擦力のつり合い（ニュートンの第2法則）からも直接出る。圧力差 $\Delta P$ を決めて流す場合、$\sigma$ は粘性係数によらない。流量 $Q$ を決めて流す場合は$\sigma=4\mu Q/(\pi r^3)$ となり、半径の3乗に反比例して大きくなる。半径が半分になると、同じ流量を保つには壁面せん断応力が8倍になる。血管がプラークで細くなると、壁にかかる応力が急激に増える。

層流と乱流：データが1本の曲線に乗る

流れが速くなると慣性が無視できず、密度も関係する。量は流速 $v$、圧力勾配 $\Delta P/L$、$\mu$、$\rho$、直径 $D$ の5つ、階数は3なので、無次元量は2個である。次のように置くと

$$\Pi_1 = \frac{\rho vD}{\mu}=\mathrm{Re},\qquad \Pi_2 = \frac{(\Delta P/L)\,D}{\rho v^2}$$

となる（$\Pi_1$ は運動と粘性の比、$\Pi_2$ は圧力と運動の比）。工学では $\Pi_2$ を2倍した$f=2(\Delta P/L)D/(\rho v^2)$ を管摩擦係数と呼び、$f=\phi(\mathrm{Re})$ の形にまとめる。層流のハーゲン–ポアズイユの法則を書き直すと、ちょうど $f=64/\mathrm{Re}$ になる。

いろいろな密度・粘性の気体や液体をいろいろな太さの管に流して測った値を $\Pi_1$ と $\Pi_2$ でプロットすると、すべての測定点が1本の曲線に乗る。$\mathrm{Re}$ が約2000（臨界レイノルズ数）より小さい範囲では$f=64/\mathrm{Re}$ の層流、それより大きい範囲では乱流で、滑らかな管ではブラジウスの実験式 $f\approx0.316\,\mathrm{Re}^{-1/4}$がよく合う（図 5.4.2）。$\mathrm{Re}$ が等しければ、流体の種類や管の太さによらず同じ振る舞いをする。$\mathrm{Re}$ は「運動する粘性流体」を特徴づける量である。

図 5.4.2　円管の管摩擦係数 $f$ とレイノルズ数の関係。層流の $64/\mathrm{Re}$（理論）と、乱流のブラジウスの実験式 $0.316\,\mathrm{Re}^{-1/4}$（$\mathrm{Re}\approx4\times10^3$–$10^5$ の滑らかな管）。灰色は層流から乱流への遷移域。どちらも式で描いた線で、測定点ではない。