円管の助走区間

(1) $\left[\,l\,\right]=\mathsf{L}$、$\left[\,v_m\,\right]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}$、$\left[\,D\,\right]=\mathsf{L}$、$\left[\,\mu\,\right]=\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1}$、$\left[\,\rho\,\right]=\mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}$ より

$$\begin{array}{c|ccccc} & l & v_m & D & \mu & \rho\\\hline M & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ L & 1 & 1 & 1 & -1 & -3\\ T & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \end{array}$$

(2) $v_m,\mu,\rho$ の列の小行列式は$\det\begin{pmatrix}0&1&1\\1&-1&-3\\-1&-1&0\end{pmatrix}=1\neq0$ なので階数は3、独立な無次元量は $5-3=2$ 個である。

繰り返し変数を $D,v_m,\rho$ とし、残りの $l$ と $\mu$ からそれぞれ無次元量を作る。$\Pi_1=l\,D^{x}v_m^{y}\rho^{z}$ の条件は $M:z=0$、$L:1+x+y-3z=0$、$T:-y=0$ で、$x=-1$。$\Pi_2=\mu\,D^{x'}v_m^{y'}\rho^{z'}$ の条件は $M:1+z'=0$、$L:-1+x'+y'-3z'=0$、$T:-1-y'=0$ で、$z'=-1,\ y'=-1,\ x'=-1$。よって

$$\Pi_1=\frac{l}{D},\qquad \Pi_2=\frac{\mu}{\rho v_m D}=\frac{1}{\mathrm{Re}}.$$

$\Pi_2$ の逆数をとって、$\Pi_2$ の代わりにレイノルズ数 $\mathrm{Re}=\rho v_m D/\mu$ を使ってよい。$\Pi$ 定理により

$$\frac{l}{D}=\phi\!\left(\frac{\rho v_m D}{\mu}\right),\qquad l = D\,\phi(\mathrm{Re}).$$

考察。

• 助走区間の長さは管の直径を単位として測ればよく、その倍率はレイノルズ数だけで決まる。流体の種類、流速、管の太さを別々に変えて調べる必要はなく、$\mathrm{Re}$ を変えて $l/D$ を測れば足りる。
• 関数 $\phi$ の形は次元解析では決まらない。層流では $\phi(\mathrm{Re})\approx0.05\,\mathrm{Re}$ 程度、つまり $l$ は $\mathrm{Re}$ に比例することが実験と計算で知られている。$\mathrm{Re}$ が大きい（慣性が強い）ほど、壁の影響が中心に届く前に流体が下流へ運ばれるので、助走区間は長くなる。たとえば直径1 cm の管に水を10 cm/s で流すと $\mathrm{Re}=1000$ で、助走区間は約50 cm になる。

検算：$\left[\,\rho v_mD/\mu\,\right]=\mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}\cdot\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}\cdot\mathsf{L}/(\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1})=1$。