ナビエ–ストークス方程式と無次元化

次元解析入門　第5章 §5.3　★★ 方程式を無次元化すると、レイノルズ数がただ1つのパラメータとして現れる。次元解析の結論を方程式の側から確かめる

密度と粘性係数が一定の流体（非圧縮性流体）の運動方程式は

$$\rho\left(\frac{\partial\bm v}{\partial t}+(\bm v\cdot\nabla)\bm v\right) = -\nabla p + \mu\nabla^2\bm v + \rho\bm K,\qquad \nabla\cdot\bm v=0$$

である。これをナビエ–ストークス方程式と呼ぶ。左辺は微小な流体部分の質量×加速度で、括弧の第2項 $(\bm v\cdot\nabla)\bm v$ は、流体部分が流れに乗って速さの違う場所へ移ることで生じる加速度（移流項）である。右辺は順に、圧力の差による力、粘性による力（速度勾配の差で生じる）、重力などの外力 $\bm K$（単位質量あたり）である。2本目の式は質量保存（連続の式）である。ニュートンの運動方程式 $m\ddot{\bm x}=\bm F$ との違いは、外力だけでなく流体内部の応力（圧力と粘性力）でも運動が起こること、そして移流項が流速について2次（非線形）であることで、この非線形性のために一般解が見つかっていない。

この方程式を、流れを代表する長さ $L$（管の直径など）と速さ $U$ で無次元化する。外力は無視して

$$\bm v = U\bm v',\quad \bm x = L\bm x',\quad t=\frac{L}{U}t',\quad p=\rho U^2 p'$$

とおき、全体を $\rho U^2/L$ で割ると

$$\frac{\partial\bm v'}{\partial t'}+(\bm v'\cdot\nabla')\bm v' = -\nabla'p' + \frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla'^2\bm v',\qquad \mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\mu}=\frac{UL}{\nu}$$

となる。$\rho$、$\mu$、$U$、$L$ の4つの量は、$\mathrm{Re}$ という1つの組み合わせでしか方程式に現れない。したがって、形が相似な（拡大・縮小しただけの）2つの流れは、$\mathrm{Re}$ が等しければ無次元化した方程式も境界条件も同じになり、同じ解を持つ。これは第6章で扱う相似則の根拠であり、第3章の $\Pi$ 定理と同じ結論を方程式の側から得たことになる。

レイノルズ数の意味

慣性による項 $\rho(\bm v\cdot\nabla)\bm v$ の大きさは $\rho U^2/L$、粘性による項 $\mu\nabla^2\bm v$ の大きさは$\mu U/L^2$ である。その比は

$$\frac{\rho U^2/L}{\mu U/L^2} = \frac{\rho UL}{\mu} = \mathrm{Re}$$

となる。レイノルズ数は慣性力と粘性力の比である。$\mathrm{Re}\ll1$ なら粘性が支配し、流れは整った層状になる（層流）。$\mathrm{Re}\gg1$ なら慣性が支配し、ある値を超えると流れは不規則に乱れる（乱流）。乱流は現在のコンピュータでも細部まで予測することができない。