平板の層流境界層

(1)

$$\begin{array}{c|ccccc} & \delta & v_\infty & x & \mu & \rho\\\hline M & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ L & 1 & 1 & 1 & -1 & -3\\ T & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \end{array}$$

(2) $v_\infty,\mu,\rho$ の列の小行列式は円管の助走区間の問題 と同じ $1\neq0$ で、階数は3、独立な無次元量は $5-3=2$ 個である。繰り返し変数を $x,v_\infty,\rho$ とすると、円管の助走区間の問題 と同じ計算で

$$\Pi_1=\frac{\delta}{x},\qquad \Pi_2=\frac{\rho v_\infty x}{\mu}\equiv\mathrm{Re}_x$$

が得られる（$\Pi_2$ は $\mu/(\rho v_\infty x)$ の逆数）。$\mathrm{Re}_x$ は板の端からの距離を代表長さとするレイノルズ数で、局所レイノルズ数と呼ぶ。$\Pi$ 定理より

$$\frac{\delta}{x}=\phi(\mathrm{Re}_x)=\phi\!\left(\frac{\rho v_\infty x}{\mu}\right).$$

考察。次元解析だけからは、境界層の厚さを距離 $x$ で割った値が局所レイノルズ数だけで決まることが分かる。$\phi$ の形を見積もるため、粘性の効果が壁から広がる速さを考える。壁で流速が0になる効果は、粘性によって動粘性係数 $\nu=\mu/\rho$ で拡散し、時間 $t$ の間に $\sqrt{\nu t}$ 程度の距離まで広がる（拡散係数の次元は $\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-1}$ なので、長さを作る組み合わせは $\sqrt{\nu t}$ しかない）。板の端から流れてきた流体が距離 $x$ に達するまでの時間は $t\sim x/v_\infty$ なので、

$$\delta\sim\sqrt{\frac{\nu x}{v_\infty}},\qquad \frac{\delta}{x}\sim\sqrt{\frac{\nu}{v_\infty x}}=\mathrm{Re}_x^{-1/2}.$$

したがって

• 境界層の厚さは板の端からの距離の平方根に比例して厚くなる（$\delta\propto\sqrt x$）。下流ほど厚いが、厚くなり方はしだいに緩やかになる。
• 主流が速いほど境界層は薄く（$\delta\propto v_\infty^{-1/2}$）、動粘性係数が大きいほど厚い（$\delta\propto\nu^{1/2}$）。
• 境界層が薄い（$\delta\ll x$）のは $\mathrm{Re}_x\gg1$ のときである。

検算：$\left[\,\delta/x\,\right]=1$、$\left[\,\rho v_\infty x/\mu\,\right]=1$。