カルマン渦列とストローハル数

次元解析入門　第5章 §5.7　★ 形は境界層の問題と同じ5量・3基本量

一様な流れの中に円柱を置くと、ある範囲の流速で、円柱の後ろに上下交互に渦が放出され、2列に並んで流れていく。これをカルマン渦列と呼ぶ。渦が放出される周波数 $f$ に関係する量を、円柱の直径 $d$、流速 $v$、粘性係数 $\mu$、密度 $\rho$ とすると、量は5つ、階数は3で、無次元量は2個である。

$$\Pi_1=\frac{\rho vd}{\mu}=\mathrm{Re},\qquad \Pi_2=\frac{fd}{v}\equiv\mathrm{St},\qquad \mathrm{St}=\phi(\mathrm{Re}).$$

$\mathrm{St}$ をストローハル数と呼ぶ。円柱の場合、$\mathrm{Re}$ が数百から $10^5$ 程度の広い範囲で $\mathrm{St}$ はおよそ0.2でほぼ一定であることが知られている。

大きさの全く違う2つのカルマン渦列が比べられた。1つは実験室の水槽で、直径5 mm の円柱に流速1.2 cm/s の水を当てたもの（$\mathrm{Re}=60$）。もう1つは済州島の風下にできる雲の渦列で、島の直径約20 km、風速約10 m/s、渦は約4時間半の周期で発生する。済州島の値から $\mathrm{St}=d/(vT)=2\times10^4/(10\times1.62\times10^4)\approx0.12$ となる。長さで $4\times10^6$ 倍違っても、支配する無次元量が近い値をとっているので、同じ形の渦列ができる。個々の物理量の値が違っても、無次元量が同じなら物理は同じになる。この見方が第6章の相似則につながる。

身近な例として、強い風の日に電線が鳴る音（エオルス音）がある。直径2 mm の電線に10 m/s の風が当たると、$\mathrm{St}=0.2$ として $f=\mathrm{St}\,v/d=1000$ Hz の渦が放出され、その周波数の音が聞こえる。