無次元量の極限で、関数が素直に振る舞うとは限らない

次元解析入門　第7章 §7.3

無次元量 $\Pi_2$ が0や無限大に近いとき、$\phi(\Pi_2)$ が有限の値に近づくなら、$\Pi_2$ を結果から消してよい。振り子の振幅 $\theta_0\to0$ では $f\to2\pi$ となり、振幅を無視した $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ が使える。このような場合を完全相似と呼ぶことがある。

ところが、$\Pi_2\to\infty$ で $\phi$ が有限値に近づかず、$\Pi_2$ のべきのように振る舞うこともある。境界層では $\mathrm{Re}_x\to\infty$（粘性が小さい極限）で $\delta/x\propto\mathrm{Re}_x^{-1/2}\to0$ となる。粘性が小さいからといって $\mu$ を最初から外すと境界層そのものが消えてしまい、壁の近くの流れを説明できない。「慣性力に比べて粘性力が小さい」ことは「粘性を無視してよい」ことを意味しない。このような場合を不完全相似と呼ぶ。どちらになるかは次元解析だけでは判断できず、方程式か実験で確かめる。