外測度と Carathéodory の拡張定理

(i) は $\emptyset$ を $\emptyset$ で覆えば総量 0 になることから従う。

(ii) は次のように分かる。$E'$ の覆いは、すべて $E$ の覆いでもある。よって (2.7) の下限をとる範囲は、小さい集合 $E$ の方が広い。

(iii) を示す。$\varepsilon >0$ を固定する。各 $n$ を固定する。下限の定義から、$E_n$ の覆い $A_{n,1},A_{n,2},\dots\in\mathcal A$ で次を満たすものがある。

$$\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{n,k})\le\mu^*(E_n)+\varepsilon 2^{-n}.$$

可算個の可算族 $\{A_{n,k}\}_{n,k}$ は全体として可算族で、$\bigcup_nE_n$ を覆う。したがって

$$\mu^*\Bigl(\bigcup_nE_n\Bigr)\le\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{n,k})\le\sum_{n=1}^\infty\bigl(\mu^*(E_n)+\varepsilon 2^{-n}\bigr)=\sum_{n=1}^\infty\mu^*(E_n)+\varepsilon .$$

$\varepsilon \downarrow0$ として (iii) を得る。

$A$ 自身で覆えば、$\mu^*(A)\le\mu(A)$ である。逆向きを示す。$A\subset\bigcup_nA_n$（$A_n\in\mathcal A$）を任意の覆いとし、

$$B_n\coloneqq A\cap A_n\setminus\bigcup_{j<n}A_j$$

とおく。$\mathcal A$ は共通部分と差で閉じているので、$B_n\in\mathcal A$ である。$B_n$ は互いに素で、和は $A$ に等しい。$A\in\mathcal A$ なので前測度の可算加法性を使うことができて

$$\mu(A)=\sum_{n=1}^\infty\mu(B_n)\le\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)$$

（不等号は $B_n\subset A_n$ と単調性による）。覆いについて下限をとれば $\mu(A)\le\mu^*(A)$。

4段階に分ける。

段階1：$\mathcal M$ は集合代数。$\Omega\in\mathcal M$ は $\mu^*(T\cap\emptyset)=0$ から明らかである。定義 (2.8) は、ある集合とその補集合について対称なので、補集合でも閉じる。

$E,F\in\mathcal M$ として $E\cap F\in\mathcal M$ を示す。任意の $T$ をとる。まず $E$ の可測性を $T$ に使う。次に $F$ の可測性を $T\cap E$ に使う。すると

$$\mu^*(T)=\mu^*(T\cap E)+\mu^*(T\cap E^c)=\mu^*(T\cap E\cap F)+\mu^*(T\cap E\cap F^c)+\mu^*(T\cap E^c).$$

ここで $T\cap(E\cap F)^c=(T\cap E\cap F^c)\cup(T\cap E^c)$ なので、劣加法性から右辺の後ろ2項の和は $\mu^*(T\cap(E\cap F)^c)$ 以上である。よって

$$\mu^*(T)\ge\mu^*\bigl(T\cap(E\cap F)\bigr)+\mu^*\bigl(T\cap(E\cap F)^c\bigr)$$

となり、(2.9) から $E\cap F\in\mathcal M$。和は $E\cup F=(E^c\cap F^c)^c$ で表せる。

段階2：互いに素な有限和についての等式。$E_1,\dots,E_n\in\mathcal M$ が互いに素なら、任意の $T$ について

$$\mu^*\Bigl(T\cap\bigsqcup_{i=1}^nE_i\Bigr)=\sum_{i=1}^n\mu^*(T\cap E_i)\tag{2.10}$$

が成り立つ。$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ は自明である。

$n-1$ まで成り立つとする。$E_n$ の可測性を、判定用の集合 $T\cap\bigsqcup_{i\le n}E_i$ に使う。この集合と $E_n$ の共通部分は、$T\cap E_n$ である。補集合 $E_n^c$ との共通部分は、互いに素なので $T\cap\bigsqcup_{i<n}E_i$ である。よって

$$\mu^*\Bigl(T\cap\bigsqcup_{i=1}^nE_i\Bigr)=\mu^*(T\cap E_n)+\mu^*\Bigl(T\cap\bigsqcup_{i=1}^{n-1}E_i\Bigr)$$

となり、帰納法の仮定から (2.10) を得る。

段階3：可算和で閉じ、可算加法的。$E_1,E_2,\dots\in\mathcal M$ を互いに素とする。次のようにおく。

$$E=\bigsqcup_iE_i,\qquad G_n=\bigsqcup_{i\le n}E_i .$$

段階1から $G_n\in\mathcal M$ である。任意の $T$ について、次の3つを順に使う。

• $G_n$ の可測性。
• (2.10)。
• $G_n^c\supset E^c$ と単調性。

すると

$$\mu^*(T)=\mu^*(T\cap G_n)+\mu^*(T\cap G_n^c)\ge\sum_{i=1}^n\mu^*(T\cap E_i)+\mu^*(T\cap E^c).$$

$n\to\infty$ とし、さらに劣加法性 $\sum_i\mu^*(T\cap E_i)\ge\mu^*(T\cap E)$ を使うと

$$\mu^*(T)\ge\sum_{i=1}^\infty\mu^*(T\cap E_i)+\mu^*(T\cap E^c)\ge\mu^*(T\cap E)+\mu^*(T\cap E^c).\tag{2.11}$$

よって $E\in\mathcal M$。集合代数の可算和は互いに素な可算和 $\bigsqcup_n\bigl(F_n\setminus\bigcup_{j<n}F_j\bigr)$ に書き直せるので、$\mathcal M$ は σ加法族である。さらに (2.11) に $T=E$ を代入する。$\mu^*(E\cap E^c)=0$ なので、次を得る。

$$\mu^*(E)\ge\sum_i\mu^*(E_i)\ge\mu^*(E).$$

よって $\mu^*(E)=\sum_i\mu^*(E_i)$ であり、これが (2) である。

段階4：$\mathcal A\subset\mathcal M$。$A\in\mathcal A$ と任意の $T$ をとる。$\varepsilon >0$ を固定する。外測度の定義から、次を満たす $A_n\in\mathcal A$ がある。

$$T\subset\bigcup_nA_n,\qquad \sum_n\mu(A_n)\le\mu^*(T)+\varepsilon .$$

次の2つは、どちらも $\mathcal A$ の元による覆いである。

$$T\cap A\subset\bigcup_n(A_n\cap A),\qquad T\cap A^c\subset\bigcup_n(A_n\cap A^c).$$

よって

$$\mu^*(T\cap A)+\mu^*(T\cap A^c)\le\sum_{n=1}^\infty\bigl(\mu(A_n\cap A)+\mu(A_n\cap A^c)\bigr)=\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)\le\mu^*(T)+\varepsilon .$$

等号では $\mathcal A$ の上の有限加法性を使った。$\varepsilon \downarrow0$ で (2.9) を得る。

結論。$\mathcal M$ は $\mathcal A$ を含む σ加法族である。$\sigma(\mathcal A)$ は、それを含む最小の σ加法族なので、$\sigma(\mathcal A)\subset\mathcal M$。

(2) により、$\mu^*$ は $\sigma(\mathcal A)$ の上で可算加法的である。また $\mu^*(\Omega)=\mu(\Omega)=1$ である。命題 2.9 から、集合代数の上では $\mu$ に一致する。

外測度の定義から、次を満たす $A_n\in\mathcal A$ がある。

$$E\subset\bigcup_nA_n,\qquad \sum_n\mu(A_n)<P(E)+\varepsilon /2 .$$

$U=\bigcup_nA_n$ とおくと、次が成り立つ。

$$P(U\setminus E)=P(U)-P(E)\le\sum_n\mu(A_n)-P(E)<\varepsilon /2 .$$

また $\sum_n\mu(A_n)<\infty$ である。よって $N$ を大きくとれば、$\sum_{n>N}\mu(A_n)<\varepsilon /2$ となる。$A=\bigcup_{n\le N}A_n\in\mathcal A$ とおくと

$$E\triangle A\subset(U\setminus E)\cup\bigcup_{n>N}A_n,\qquad P(E\triangle A)<\frac{\varepsilon }2+\frac{\varepsilon }2=\varepsilon .$$

最初の包含は、$A\setminus E\subset U\setminus E$ と $E\setminus A\subset U\setminus A\subset\bigcup_{n>N}A_n$ による。