一意性

$\Omega\in\mathcal D$ と補集合で閉じることは上で見た。

$A,B\in\mathcal D$ とする。π系であることから $A^c\cap B^c\in\mathcal D$ である。その補集合として $A\cup B\in\mathcal D$ を得る。

帰納的に有限和でも閉じる。可算和 $\bigcup_nA_n$ は、増加列 $B_N=\bigcup_{n\le N}A_n\in\mathcal D$ の和である。よって (iii) から、これも入る。

$\mathcal C$ を含むすべての λ系の共通部分を $\ell(\mathcal C)$ とおく。λ系の3条件は、どれも共通部分をとる操作で保たれる。よって $\ell(\mathcal C)$ は $\mathcal C$ を含む最小の λ系である。とくに $\ell(\mathcal C)\subset\mathcal D$ である。

したがって、$\ell(\mathcal C)$ が π系であることを示せば足りる。そうすれば補題 2.14 から、これは $\mathcal C$ を含む σ加法族になる。よって次が得られる。

$$\sigma(\mathcal C)\subset\ell(\mathcal C)\subset\mathcal D .$$

2段階で示す。

段階1。次の族を考える。

$$\mathcal D_1\coloneqq\{A\in\ell(\mathcal C):A\cap C\in\ell(\mathcal C)\text{ がすべての }C\in\mathcal C\text{ で成り立つ}\}.$$

$\mathcal C$ は π系なので $\mathcal C\subset\mathcal D_1$。$\mathcal D_1$ が λ系であることを確かめる。

1. (i) $\Omega\cap C=C\in\ell(\mathcal C)$。
2. (ii) $A,B\in\mathcal D_1$、$A\subset B$ とする。差について次が成り立つ。

$$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus(A\cap C).$$

右辺の2つの集合はどちらも $\ell(\mathcal C)$ の元で、$A\cap C\subset B\cap C$ である。よって差も $\ell(\mathcal C)$ に入る。3. (iii) $A_n\uparrow A$ なら $A_n\cap C\uparrow A\cap C$ である。$\ell(\mathcal C)$ は増加列の和で閉じる。

よって $\mathcal D_1$ は $\mathcal C$ を含む λ系である。$\ell(\mathcal C)$ の最小性から $\mathcal D_1=\ell(\mathcal C)$。すなわち次が成り立つ。

$$A\in\ell(\mathcal C),\ C\in\mathcal C\ \Longrightarrow\ A\cap C\in\ell(\mathcal C).$$

段階2。次の族を考える。

$$\mathcal D_2\coloneqq\{B\in\ell(\mathcal C):A\cap B\in\ell(\mathcal C)\text{ がすべての }A\in\ell(\mathcal C)\text{ で成り立つ}\}.$$

段階1の結論から $\mathcal C\subset\mathcal D_2$。段階1と同じ計算で $\mathcal D_2$ は λ系なので、$\mathcal D_2=\ell(\mathcal C)$。これは $\ell(\mathcal C)$ が π系であることを意味する。

$\mathcal D=\{A\in\sigma(\mathcal C):P(A)=Q(A)\}$ が λ系であることを示せば、Dynkin の定理から $\sigma(\mathcal C)\subset\mathcal D$ となる。(i) $P(\Omega)=Q(\Omega)=1$。(ii) $A,B\in\mathcal D$、$A\subset B$ なら、次が成り立つ。

$$P(B\setminus A)=P(B)-P(A)=Q(B)-Q(A)=Q(B\setminus A).$$

(iii) $A_n\uparrow A$ なら、連続性から $P(A)=\lim P(A_n)=\lim Q(A_n)=Q(A)$。

$\mathcal H=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb{R}\}$ とおく。包含 $\sigma(\mathcal H)\subset\sigma(\mathcal S_{\mathbb{R}})\subset\mathcal B(\mathbb{R})$ と $\mathcal B(\mathbb{R})\subset\sigma(\mathcal H)$ を示す。

$\mathcal H\subset\mathcal S_{\mathbb{R}}$ なので $\sigma(\mathcal H)\subset\sigma(\mathcal S_{\mathbb{R}})$。$(a,b]=\bigcap_m(a,b+1/m)$ は開集合の可算個の共通部分なので Borel 集合であり、$\sigma(\mathcal S_{\mathbb{R}})\subset\mathcal B(\mathbb{R})$。$\mathcal A_0$ の元は、半開区間の有限和である。よって $\sigma(\mathcal A_0)=\sigma(\mathcal S_{\mathbb{R}})$。

逆向きを示す。$\sigma(\mathcal H)$ は $(a,b]=(-\infty,b]\setminus(-\infty,a]$ を含む。よって開区間 $(a,b)=\bigcup_m(a,b-1/m]$ も含む。

実数直線の開集合 $O$ は、その中に含まれる有理数端点の開区間すべての和に等しい。実際、$O$ のどの点についても、その点を含み $O$ に収まる有理数端点の開区間がある。有理数端点の開区間は可算個しかないので、$O$ はその可算和として $\sigma(\mathcal H)$ に入る。よって $\mathcal B(\mathbb{R})\subset\sigma(\mathcal H)$。