分布関数から確率測度を作る

確率論入門　第2章 §2.4　★★ 右連続で単調な関数と、$\mathbb{R}$ 上の確率測度が一対一に対応する。分布関数を扱う章すべての出発点

Lebesgue–Stieltjes 測度

ここまでの3節の結果を組み合わせる。

証明

存在。定理 2.6 から、$\mu_F$ は $\mathcal S_{\mathbb{R}}$ の上で可算加法的である。補題 2.5 により、集合代数 $\mathcal A_0$ の上の前測度に延長され、$\mu_F(\mathbb{R})=1$ となる。

Carathéodory の拡張定理 2.11 により、これは $\sigma(\mathcal A_0)$ の上の確率測度 $P_F$ に延長される。補題 2.17 から $\sigma(\mathcal A_0)=\mathcal B(\mathbb{R})$ なので、$P_F$ は Borel 集合族の上の確率測度である。また $(-\infty,x]\in\mathcal S_{\mathbb{R}}$ なので $P_F((-\infty,x])=\mu_F((-\infty,x])=F(x)-F(-\infty)=F(x)$。

一意性。(2.12) を満たす確率測度 $Q$ をとる。$(-\infty,x]=\bigcup_m(-m,x]$ と連続性から $Q((-\infty,x])=\lim_m(F(x)-F(-m))=F(x)$。

同様に $Q((a,\infty))=1-F(a)$ である。よって2つの測度は、π系 $\mathcal S_{\mathbb{R}}$ の上で一致する。系 2.16 と補題 2.17 から $Q=P_F$。

$P_F$ を $F$ の定める Lebesgue–Stieltjes 測度と呼ぶ。たとえば $F(x)=\min(\max(x,0),1)$ のときを考える。このとき $P_F$ は $(0,1]$ 上の一様分布である。これは $\mathrm{Leb}$ を $(0,1]$ に制限したものである。

逆向きの対応も成り立つ。Borel 集合族の上の確率測度 $P$ に対して、$F(x)\coloneqq P((-\infty,x])$ とおく。このとき $F$ は (2.4) を満たす。

• 単調性は、測度の単調性から従う。
• 右連続性は、$(-\infty,x+1/m]\downarrow(-\infty,x]$ と連続性から従う。
• 両端の極限は、次と連続性から従う。

$$(-\infty,-m]\downarrow\emptyset,\qquad (-\infty,m]\uparrow\mathbb{R} .$$

定理 2.18 と合わせると、次が得られる。

第3章 §3.3 では、この対応を確率変数の分布と分布関数の言葉で述べ直す。

1点や閉区間の確率

$P_F$ は Borel 集合すべての確率を定めているので、1点や閉区間の確率も $F$ から計算できる。$F(x-)\coloneqq\lim_{y\uparrow x}F(y)$ を左極限とする（単調関数なので必ず存在する）。

証明

$(x-1/m,x]\downarrow\{x\}$ なので、連続性から$P_F(\{x\})=\lim_m\bigl(F(x)-F(x-1/m)\bigr)=F(x)-F(x-)$。残りは (2.13) と加法性から出る。

たとえば $(a,b)=(a,b]\setminus\{b\}$ から $P_F((a,b))=F(b)-F(a)-(F(b)-F(b-))=F(b-)-F(a)$。$[a,b]=\{a\}\sqcup(a,b]$ から $P_F([a,b])=F(a)-F(a-)+F(b)-F(a)=F(b)-F(a-)$。$[a,b)=\{a\}\sqcup(a,b)$ についても同様である。

(2.13) から、点 $x$ での連続性は $P_F(\{x\})=0$ と同値である。

$F$ の跳びの位置は高々可算個である。実際、跳びの大きさが $1/k$ を超える点が $k$ 個以上あれば、それらの点の確率の和が 1 を超えてしまう。したがって、跳びが $1/k$ を超える点は $k$ 個未満である。これを $k=1,2,\dots$ について合わせても、可算個である。

確認テスト

オリジナル

1. 2.4-1 次の関数のうち、(2.4) の3条件を満たすものをすべて選び、満たさないものはどの条件が成り立たないかを答えよ。

   • (a) $F(x)=\tfrac12+\tfrac1\pi\arctan x$。
   • (b) 次の階段関数。

$$F(x)=\begin{cases}0&(x\le0)\\ 1&(x>0)\end{cases}$$

• (c) $F(x)=\exp(-\mathrm{e}^{-x})$。
• (d) 次の関数。

$$F(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{x}&(x<0)\\ 1&(x\ge0)\end{cases}$$ 2. 2.4-2 関数 $F$ を次で定める。

$$F(x)=\begin{cases}0&(x<1)\\ 1-\dfrac1{2x}&(x\ge1)\end{cases}$$

次の4つを求めよ。

$$P_F(\{1\}),\qquad P_F((1,2]),\qquad P_F([2,\infty)),\qquad P_F((1,3)).$$ 3. 2.4-3 $0<p<1$ とし、関数 $F$ を次で定める。

$$F(x)=\begin{cases}0&(x<1)\\ 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor}&(x\ge1)\end{cases}$$

ここで $\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数である。$P_F(\{k\})$（$k=1,2,\dots$）を求めよ。また $p=\tfrac13$ のとき $P_F((1.5,4])$ を求めよ。4. 2.4-4 $F$ が連続だとする。このとき、任意の可算集合 $C\subset\mathbb{R}$ について $P_F(C)=0$ であることを証明せよ。5. 2.4-5 関数 $G$ を次で定める。

$$G(x,y)=\begin{cases}1&(x+y\ge0)\\ 0&(x+y<0)\end{cases}$$

次の3つを確かめよ。

• $G$ は各変数について単調非減少で右連続である。
• $x\to-\infty$ または $y\to-\infty$ で 0 に近づく。
• 両方の変数を $+\infty$ へ送ると 1 に近づく。

そのうえで、長方形 $(-1,1]\times(-1,1]$ に上の式で割り当てた値を計算せよ。さらに、$G$ がどんな確率測度の2次元分布関数にもならないことを示せ。