この章のまとめ

確率論入門　第2章 §2.5

この章では、確率を直接書ける集合から出発して、Borel 集合族全体の上の確率測度を作った。出発点は半開区間の全体 $\mathcal S_{\mathbb{R}}$ である。半開区間は隣り合うものをつなぐと再び半開区間になるので、区間の確率 $F(b)-F(a)$ の有限加法性は差の打ち消し合いだけで確かめられた。可算加法性には右連続性と Heine–Borel の定理が要り、右連続でない関数では可算加法性が成り立たないことを例題 2.1 で見た。

次に、集合代数の上の前測度 $\mu$ から外測度 $\mu^*$ を作った。Carathéodory の可測性 (2.8) を満たす集合だけを集めると、そこでは外測度が可算加法的になることを示した。前測度の可算加法性は、外測度が集合代数の上で元の $\mu$ に一致するという命題 2.9 で使われ、これが拡張の前提条件になっている。こうして存在が保証された測度は、Dynkin の π-λ 定理によって一意である。

一意性の議論では、共通部分で閉じる性質を生成元の側に課し、「確率が等しい集合の族」には λ系の3条件だけを確かめればよいという分担をとった。生成元が π系でない場合や、測度が無限で引き算ができない場合には、一意性が成り立たないことも例で確かめた。

3つの結果を合わせると、単調非減少・右連続・両端の極限が 0 と 1 という3条件を満たす関数 $F$ と、$\mathbb{R}$ 上の確率測度とが一対一に対応する（定理 2.18）。1点の確率は跳びの大きさ $F(x)-F(x-)$ で与えられ、閉区間や開区間の確率も左極限を使って書ける（命題 2.19）。

第3章では確率変数を可測関数として定義し、その分布 $P_X$ を $\mathcal B(\mathbb{R})$ の上の確率測度として扱う。§3.3 の「分布関数と分布の一対一」は、この章の定理 2.18 と例題 2.4 をそのまま使う。§3.5 の逆変換法は、ここで $(0,1]$ 上の一様分布の存在を示したことを前提にして、一様乱数から任意の分布を作る。

第4章では、独立性の定義を生成元の上で確かめる際に Dynkin の定理を使い、同時分布を2次元の分布関数で扱う。第5章の期待値は、ここで作った測度に関する積分として定義される。