確認テストの解答

確率論入門　第2章 §2.6

1. 2.1-1 集合半代数ではない。共通部分では閉じている（$(a,b)\cap(c,d)=(\max(a,c),\min(b,d))$、空のときは空集合）。しかし条件 (iii) が成り立たない。$(0,1)^c=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ で、この集合は端点 0 と 1 を含む。開区間の有限個の和は開集合なので、閉集合で開集合でない $(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ に等しくなることはない。
2. 2.1-2 3つの区間のうち、最初の2つ $(-1,\tfrac12]$ と $(\tfrac14,1]$ は重なる。その和は $(-1,1]$ になる。$(2,\infty)$ とは交わらない。よって

$$\begin{aligned}A&=(-1,1]\sqcup(2,\infty),\\ \mu_F(A)&=\bigl(F(1)-F(-1)\bigr)+\bigl(F(+\infty)-F(2)\bigr)\\ &=(1-\mathrm{e}^{-2}-0)+\bigl(1-(1-\mathrm{e}^{-4})\bigr)=1-\mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{-4}.\end{aligned}$$

数値では $1-0.135335+0.018316=0.882981$ である。重なりをそのまま足すと $(\tfrac14,\tfrac12]$ を2回数えることになるので、先に互いに素な和に直す必要がある。3. 2.1-3 集合代数であること。$\Omega$ は、補集合が空集合で有限なので $\mathcal A$ に入る。定義は $A$ と $A^c$ について対称なので補集合で閉じる。$A,B\in\mathcal A$ の和を考える。

• 両方有限なら、和も有限である。
• どちらかの補集合が有限なら、$(A\cup B)^c\subset A^c$（または $B^c$）も有限である。

どちらの場合も和は $\mathcal A$ に入る。

σ加法族でないこと。偶数の全体 $E=\bigcup_{k}\{2k\}$ は、1点集合（$\mathcal A$ の元）の可算和である。ところが偶数の全体も、その補集合（奇数の全体）も無限集合である。よって $E\notin\mathcal A$。

有限加法的であること。$A=A_1\sqcup\dots\sqcup A_n$（すべて $\mathcal A$ の元）とする。$A$ が有限なら各 $A_i$ も有限で、両辺とも 0。

$A^c$ が有限なら、$A_i$ のうち補集合が有限のものは高々1つである（補集合が有限な2つの集合は、共通部分の補集合も有限なので共通部分が無限集合になり、互いに素にならない）。一方、すべての $A_i$ が有限なら $A$ も有限になって仮定に反する。よってちょうど1つの $A_i$ の補集合が有限で、右辺は 1、左辺も 1。

可算加法的でないこと。$\mathbb{N}=\bigsqcup_{n=1}^\infty\{n\}$ を考える。左辺は $\mu(\mathbb{N})=1$、右辺は $\sum_n\mu(\{n\})=0$ である。4. 2.1-4 可算加法性から連続性。$A_n\in\mathcal A$、$A_n\downarrow\emptyset$ とする。$D_n=A_n\setminus A_{n+1}\in\mathcal A$ は互いに素である。$\bigcap_nA_n=\emptyset$ から $A_N=\bigsqcup_{n\ge N}D_n$。 $A_N\in\mathcal A$ なので可算加法性から $\mu(A_N)=\sum_{n\ge N}\mu(D_n)$。$N=1$ の場合から、$\sum_{n\ge1}\mu(D_n)=\mu(A_1)\le1$ は収束する級数である。その裾 $\sum_{n\ge N}\mu(D_n)$ は、$N\to\infty$ で 0 に近づく。 連続性から可算加法性。$A=\bigsqcup_{n}A_n$（$A,A_n\in\mathcal A$）とする。$R_N=A\setminus\bigsqcup_{n\le N}A_n\in\mathcal A$ とおく。$R_N$ は単調減少で $\bigcap_NR_N=\emptyset$。有限加法性から $\mu(A)=\sum_{n\le N}\mu(A_n)+\mu(R_N)$ で、仮定から $\mu(R_N)\to0$。よって $\mu(A)=\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)$。$\mu(R_N)$ が有限なので引き算に問題はない。5. 2.2-1 $\varepsilon >0$ について $\{x\}\subset(x-\varepsilon ,x]$ である。この区間の一様分布の確率は $\varepsilon$ 以下である。よって $\mu^*(\{x\})\le\varepsilon$、$\varepsilon \downarrow0$ で 0。可算集合 $\{x_1,x_2,\dots\}$ については、可算劣加法性 (iii) から $\mu^*(\bigcup_n\{x_n\})\le\sum_n\mu^*(\{x_n\})=0$、非負なので 0。6. 2.2-2 区間 $(4^{-n},2\cdot4^{-n}]$ は、$n$ が増えると左へ並ぶ。次の不等式から、これらは互いに素である。

$$2\cdot4^{-(n+1)}=\tfrac12\cdot4^{-n}<4^{-n}.$$

また、すべて $(0,\tfrac12]$ に含まれる。各区間の長さは $4^{-n}$ なので、可算加法性から

$$P(E)=\sum_{n=1}^\infty4^{-n}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac13,\qquad P\bigl((0,\tfrac12]\setminus E\bigr)=\frac12-\frac13=\frac16 .$$ 7. 2.2-3 $k$ 回目の操作の前には、閉区間が $2^{k-1}$ 個ある。各区間の長さは $3^{-(k-1)}$ である。そのそれぞれから長さ $3^{-k}$ を取り除くので、取り除く長さは $2^{k-1}3^{-k}$ である。$n$ 回目までの合計は

$$\sum_{k=1}^n\frac{2^{k-1}}{3^k}=\frac13\cdot\frac{1-(2/3)^n}{1-2/3}=1-\Bigl(\frac23\Bigr)^n .$$

$n$ 回の操作のあとに残る集合を $C_n$ とする。これは長さ $3^{-n}$ の閉区間 $2^n$ 個の和である。よって $\mathrm{Leb}(C_n)=(2/3)^n$。

$C\subset C_n$ がすべての $n$ で成り立つ。よって $\mathrm{Leb}(C)\le(2/3)^n\to0$ となり、$\mathrm{Leb}(C)=0$。取り除いた長さの総和は 1 で、$[0,1]$ の長さ全部に等しい。

一方、$C$ は端点 $0,1,\tfrac13,\tfrac23,\dots$ を含み、空ではない（実際には非可算集合であることが3進展開で示せる）。8. 2.2-4 任意の $T$ をとる。単調性から次が成り立つ。

$$\mu^*(T\cap N)\le\mu^*(N)=0,\qquad \mu^*(T\cap N^c)\le\mu^*(T).$$

よって $\mu^*(T\cap N)+\mu^*(T\cap N^c)\le0+\mu^*(T)$ となり、(2.9) が成り立つ。したがって $N\in\mathcal M$。9. 2.3-1 π系である。$(-\infty,x]\cap(-\infty,y]=(-\infty,\min(x,y)]\in\mathcal H$。 λ系ではない。条件 (i) の $\mathbb{R}\in\mathcal H$ が成り立たない。実数直線全体は $(-\infty,x]$ の形でないからである。条件 (ii) も成り立たず、$x<y$ のとき$(-\infty,y]\setminus(-\infty,x]=(x,y]\notin\mathcal H$。10. 2.3-2 各集合について $P(A)=|A|/4$、$Q(A)=\tfrac12\bigl(\mathbf 1[1\in A]+\mathbf 1[4\in A]\bigr)$ を比べる。要素数が 0 と 4 の集合ではどちらも 0 と 1 で一致する。1点集合では $P=\tfrac14$ に対して $Q\in\{0,\tfrac12\}$ で一致しない。3点集合では $P=\tfrac34$ に対して $Q\in\{\tfrac12,1\}$ で一致しない。2点集合では $P=\tfrac12$ で、$Q=\tfrac12$ となるのは 1 と 4 のちょうど一方を含むとき、すなわち

$$\mathcal D=\bigl\{\emptyset,\ \Omega,\ \{1,2\},\ \{1,3\},\ \{2,4\},\ \{3,4\}\bigr\}.$$

λ系であること。系 2.16 の証明と同じく、(i) $\Omega\in\mathcal D$、(ii) $A\subset B$ なら差の確率は引き算で一致し、(iii) は有限集合なので増加列がいずれ一定になり成り立つ。具体的に (ii) を見る。真の包含 $A\subsetneq B$ を持つ組は、次の2種類だけである。

• $A=\emptyset$ の組。差は $B$ である。
• $B=\Omega$ の組。差は $A^c$ である。

補集合も $\mathcal D$ に入る。実際 $\{1,2\}^c=\{3,4\}$ であり、$\{1,3\}^c=\{2,4\}$ である。

π系でないこと。$\{1,2\}\cap\{1,3\}=\{1\}\notin\mathcal D$。この例は、「確率が等しい集合の族」が λ系にはなっても σ加法族にはならないことを示している。11. 2.3-3 $\mathcal C=\{(-\infty,x]\times(-\infty,y]:x,y\in\mathbb{R}\}\cup\{\emptyset\}$ とおく。$\bigl((-\infty,x]\times(-\infty,y]\bigr)\cap\bigl((-\infty,x']\times(-\infty,y']\bigr)=(-\infty,\min(x,x')]\times(-\infty,\min(y,y')]$ なので π系である。

仮定から $\mathcal C$ の上で $P=Q$。系 2.16 を使うには $\sigma(\mathcal C)=\mathcal B(\mathbb{R}^2)$ を示せばよい。$\mathcal C$ の元は閉集合なので $\sigma(\mathcal C)\subset\mathcal B(\mathbb{R}^2)$。逆に、$\sigma(\mathcal C)$ は差をとって

$$(a_1,b_1]\times(-\infty,y]=\bigl((-\infty,b_1]\times(-\infty,y]\bigr)\setminus\bigl((-\infty,a_1]\times(-\infty,y]\bigr)$$

を含み、同じ操作を第2成分に使って半開長方形 $(a_1,b_1]\times(a_2,b_2]$ を含む。開長方形 $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)$ は、半開長方形$(a_1,b_1-1/m]\times(a_2,b_2-1/m]$ の増加列の和である。よってこれも入る。

$\mathbb{R}^2$ の開集合は、それに含まれる有理数の頂点を持つ開長方形の可算和に等しいので$\sigma(\mathcal C)$ に入る。よって $\mathcal B(\mathbb{R}^2)\subset\sigma(\mathcal C)$。系 2.16 から $P=Q$。12. 2.3-4 補集合。$A\in\mathcal D$ なら $A\subset\Omega$ である。(ii) から $\Omega\setminus A=A^c\in\mathcal D$。 互いに素な和。$A\cap B=\emptyset$ なら $A\subset B^c$。$B^c\in\mathcal D$ なので (ii) から $B^c\setminus A\in\mathcal D$。$B^c\setminus A=B^c\cap A^c=(A\cup B)^c$ なので、補集合で閉じることから $A\cup B$ も入る。13. 2.4-1 - (a) 満たす。$\arctan$ は連続な増加関数である。両端では $\mp\pi/2$ に近づくので、$F\to0,1$ となる（Cauchy 分布の分布関数）。

• (b) 満たさない。$F(0)=0$ だが右極限は 1 なので、$x=0$ で右連続でない。これは例題 2.1 の $G$ である。
• (c) 満たす。$-\mathrm{e}^{-x}$ は増加関数なので、$F$ も連続な増加関数である。左端では $\mathrm{e}^{-x}\to\infty$ から $F\to0$ となる。右端では $\mathrm{e}^{-x}\to0$ から $F\to1$ となる（Gumbel 分布）。
• (d) 満たす。負の側で $\mathrm{e}^x$ は増加し、$x\to-\infty$ で 0 に近づく。$F(0-)=1=F(0)$ なので連続で、$x\ge0$ で 1。$(-\infty,0]$ に乗る分布で、点 0 に確率はない。

14. 2.4-2 まず値を求める。

$$F(1-)=0,\quad F(1)=\tfrac12,\quad F(2)=\tfrac34,\quad F(3)=\tfrac56 .$$

$x>1$ では $F$ は連続である。命題 2.19 から

$$P_F(\{1\})=\tfrac12-0=\tfrac12,\qquad P_F((1,2])=\tfrac34-\tfrac12=\tfrac14,$$

$$P_F([2,\infty))=1-F(2-)=1-\tfrac34=\tfrac14,\qquad P_F((1,3))=F(3-)-F(1)=\tfrac56-\tfrac12=\tfrac13 .$$

確かめとして、$P_F(\{1\})+P_F((1,2))+P_F([2,\infty))=\tfrac12+\tfrac14+\tfrac14=1$（$\{2\}$ の確率は 0）。15. 2.4-3 $F$ は整数点 $k\ge1$ でだけ跳ぶ階段関数で、跳びの大きさは

$$P_F(\{k\})=F(k)-F(k-)=\bigl(1-(1-p)^k\bigr)-\bigl(1-(1-p)^{k-1}\bigr)=p(1-p)^{k-1}\qquad(k=1,2,\dots).$$

これは幾何分布（初めて成功するまでの試行回数）である。$p=\tfrac13$ のときを考える。$\lfloor4\rfloor=4$、$\lfloor1.5\rfloor=1$ から

$$P_F((1.5,4])=F(4)-F(1.5)=\bigl(1-(\tfrac23)^4\bigr)-\bigl(1-\tfrac23\bigr)=\tfrac23-\tfrac{16}{81}=\tfrac{38}{81}.$$

これは $k=2,3,4$ の確率の和 $\tfrac13\bigl(\tfrac23+\tfrac49+\tfrac8{27}\bigr)=\tfrac{38}{81}$ に一致する。16. 2.4-4 $F$ が連続なら (2.13) から各点で $P_F(\{x\})=F(x)-F(x-)=0$。$C=\{x_1,x_2,\dots\}$ は1点集合の互いに素な可算和なので、可算加法性から $P_F(C)=\sum_nP_F(\{x_n\})=0$。たとえば正規分布のもとで有理数全体の確率は 0 である。17. 2.4-5 単調性と右連続性。$x$ を増やすと $x+y$ も増える。よって $G$ の値は 0 から 1 へ変わることはあっても、その逆はない。$y$ についても同様である。

集合 $\{x+y\ge0\}$ は閉集合である。よって $G$ が 1 をとる点の右側（各変数を増やした側）でも 1 のままで、各変数について右連続である。

極限。$y$ を固定して $x\to-\infty$ とする。$x<-y$ となった所から $G=0$ である。両方の変数を $+\infty$ へ送ると、和が 0 以上になった所から $G=1$ である。

長方形の値。4つの頂点での値は次のとおりである（$G(-1,1)$ は $0\ge0$ から）。

$$G(1,1)=1,\quad G(-1,1)=1,\quad G(1,-1)=1,\quad G(-1,-1)=0 .$$

よって

$$G(1,1)-G(-1,1)-G(1,-1)+G(-1,-1)=1-1-1+0=-1<0 .$$

もし $G$ がある確率測度の分布関数なら、この値は長方形の確率 $P((-1,1]\times(-1,1])$ に等しい。それは非負でなければならない。よって $G$ は2次元分布関数にならない。