分布関数

確率論入門　第3章 §3.3　★★★ 分布は1変数の関数 $F_X(x)=P(X\le x)$ だけで決まる。単調・右連続・両端で $0,1$ がその特徴づけ

定義と3つの性質

分布 $P_X$ は Borel 集合族という巨大な集合族の上の関数であり、そのままでは扱いにくい。そこで半直線 $(-\infty,x]$ での値だけを取り出す。

証明

(i) $x\le y$ なら $\{X\le x\}\subset\{X\le y\}$ である。確率の単調性から $F(x)\le F(y)$ となる。

(ii) $F$ は単調なので、右極限はどんな減少列 $h_n\downarrow0$ に沿ってとっても同じ値になる。そこで $h_n=1/n$ とする。事象 $\{X\le x+1/n\}$ は $n$ について減少し、

$$\bigcap_{n=1}^\infty\Bigl\{X\le x+\frac1n\Bigr\}=\{X\le x\}$$

である。実際、すべての $n$ で $X(\omega)\le x+1/n$ が成り立つとする。極限をとれば $X(\omega)\le x$ となる。逆は明らかである。

連続性 (3.1) の後半から $F(x+1/n)\to F(x)$ となる。

(iii) $n\to\infty$ で、事象は次のように近づく。

$$\{X\le -n\}\downarrow\emptyset,\qquad \{X\le n\}\uparrow\Omega.$$

値 $X(\omega)$ は実数なので、十分大きな番号では区間 $(-n,n]$ に入る。これが近づき方の理由である。連続性 (3.1) から $F(-n)\to0$ と $F(n)\to1$ が従う。単調性から、整数でない $x$ についても極限は同じである。

(3.11) の1つ目：事象 $\{X\le x-1/n\}$ は増加し、和集合は $\{X<x\}$ である。実際、$X(\omega)<x$ なら $x-X(\omega)>0$ である。$1/n$ がこの差より小さくなるように番号をとれば、$X(\omega)\le x-1/n$ となる。

連続性の前半から $F(x-1/n)\to P(X<x)$ となる。2つ目の式は、次が互いに素な和であることから従う。

$$\{X\le x\}=\{X<x\}\cup\{X=x\}$$

右連続性は、分布関数を「$\le$」で定義したことの帰結である。仮に $G(x)=P(X<x)$ と定義すれば、同じ議論で $G$ は左連続になる。どちらの約束でも分布の情報は失われないが、本書では (3.10) の「$\le$」の約束を通して使う。

(3.11) から、2つの条件「点 $x$ で分布関数が連続」と「$P(X=x)=0$」は同値である。$P(X=x)>0$ となる点、つまり正の確率をもつ1点を、分布の原子と呼ぶ。区間の確率は次の表のように $F$ とその左極限で表される。

$$\begin{aligned} P(a<X\le b)&=F(b)-F(a), & P(a\le X\le b)&=F(b)-F(a-),\\ P(a<X<b)&=F(b-)-F(a), & P(a\le X<b)&=F(b-)-F(a-). \end{aligned}\tag{3.12}$$

どの式も、端点を含むかどうかに応じて (3.11) の $P(X=a)$ や $P(X=b)$ を足し引きしたものである。

証明は第2章 §2.4 で分布関数の跳びについて示したものと同じである（跳びの大きさが $1/n$ を超える点は $n$ 個未満しかない）。

分布関数と分布は一対一

分布関数は分布の半直線での値だけを記録したものだが、実はそれだけで分布全体が決まる。

証明

第2章 §2.4 の Lebesgue–Stieltjes 測度の定理（性質 (i)〜(iii) をもつ関数には、それを分布関数にもつ確率測度がただ1つある）を、確率変数の分布の言葉で述べ直したものである。

(a) では、2つの分布 $P_X,P_Y$ が同じ関数を分布関数にもつ確率測度なので、その一意性から両者は一致する。一意性の中身は2つある。半直線の族 $\{(-\infty,x]\}$ が $\mathcal B(\mathbb{R})$ を生成する π系であることと、一意性 (3.2) である。(b) の存在には、§3.5 の逆変換法による別証明もある（定理 3.20 の後の注意）。

この定理により、「分布を与える」ことと「性質 (i)〜(iii) をもつ関数を与える」ことは同じになる。第11章で分布収束 $X_n\xrightarrow{d}X$ を定義するときは、この対応を使って分布関数の収束で定める。

確認テスト

オリジナル

1. 3.3-1 次の関数のうち分布関数であるものを選び、そうでないものはどの性質が成り立たないかを答えよ。(a) $F(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$。(b) 負の数で 0、正の数で 1、原点で $\frac12$ をとる関数。(c) $F(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$（すべての $x\in\mathbb{R}$）。
2. 3.3-2 確率変数 $X$ の分布関数が

$$F(x)=\begin{cases}0 & (x<0)\\ \frac13 & (0\le x<1)\\ 1-\frac12\mathrm{e}^{-(x-1)} & (x\ge1)\end{cases}$$

で与えられる。次の5つを求めよ。

$$P(X=0),\quad P(X=1),\quad P(0<X<1),\quad P(1\le X\le2),\quad P(X>2).$$ 3. 3.3-3 確率変数 $X$ の分布関数を $F$ とする。$Y=-X$ の分布関数を $F$ とその左極限で表せ。$X$ が上の 3.3-2 の分布をもつとき、$P(Y\le -1)$ を求めよ。4. 3.3-4 2つの確率変数 $X,Y$ の分布関数が、実数の稠密な部分集合 $D$（たとえば有理数全体）の上で一致するとする。

$$F_X(x)=F_Y(x)\qquad(x\in D)$$

このとき $F_X=F_Y$ が実数全体で成り立ち、$X\overset{d}{=}Y$ であることを示せ。