分布（法則）と押し出し測度

確率論入門　第3章 §3.2　★★★ 確率変数は $\mathbb{R}$ の上に確率測度 $P_X=P\circ X^{-1}$ を作る。確率の計算はすべてこの測度の上で行える

分布の定義

確率変数 $X$ が与えられると、各 Borel 集合に「$X$ がその集合に値をとる確率」を割り当てることができる。

この構成は実数値に限らない。$(S,\mathcal S)$ を可測空間とし、写像 $X\colon\Omega\to S$ が次を満たすとする。

$$X^{-1}(A)\in\mathcal F\qquad(\text{すべての }A\in\mathcal S)$$

すると同じ証明で、$P\circ X^{-1}$ は $(S,\mathcal S)$ の上の確率測度になる。

これを $P$ の $X$ による押し出し測度（像測度）と呼ぶ。標本空間の上の確率を $S$ の上へ「押し出す」という意味の名前である。$S=\mathbb{R}^2$ の場合は確率ベクトル $(X,Y)$ の同時分布になり、第4章 §4.3 で扱う。

図 3.1　押し出し測度。$\mathbb{R}$ の Borel 集合 $B$ の重さ $P_X(B)$ を、逆像 $X^{-1}(B)$ の確率で定める。

同じ分布をもつ確率変数

2つの確率変数 $X,Y$ の分布が等しい（$P_X=P_Y$）とき、2つは同分布であるという。記号では $X\overset{d}{=}Y$ と書く。$X$ と $Y$ は別の確率空間の上で定義されていてもよい。同分布は「確率的な振る舞いが同じ」ことを言い、関数として等しいこととはまったく違う。

確率変数の関数の分布は、もとの確率変数の分布だけで決まる。$g$ を Borel 可測関数とすると

$$P_{g(X)}(B)=P\bigl(X\in g^{-1}(B)\bigr)=P_X\bigl(g^{-1}(B)\bigr),\qquad\text{すなわち}\quad P_{g(X)}=P_X\circ g^{-1}\tag{3.8}$$

である。右辺には $\Omega$ も $P$ も現れない。したがって $X$ に関する確率の計算は、標本空間の詳細を忘れて $(\mathbb{R},\mathcal B(\mathbb{R}),P_X)$ の上で行ってよい。第5章 §5.3 で示す変数変換公式 $E[g(X)]=\int g\,\mathrm{d} P_X$ は、この事実の期待値版である。

確認テスト

オリジナル

1. 3.2-1 確率変数 $X$ と定数 $c$ をとる。$P_X(\{c\})=1$ となるのはどういうときか。$X$ の言葉で答えよ。また、そのとき $P_X$ が次の Dirac 測度 $\delta_c$ に等しいことを確かめよ。

$$\delta_c(B)=\begin{cases}1 & (c\in B)\\ 0 & (c\notin B)\end{cases}$$ 2. 3.2-2 $\Omega=(0,1)$ に Lebesgue 測度を入れ、$X(\omega)=1/\omega$ とおく。すべての $x\in\mathbb{R}$ について $P(X\le x)$ を求めよ。また $P(X>10)$ を答えよ。3. 3.2-3 サイコロを2回振る。$\Omega=\{1,\dots,6\}^2$ に一様な確率を入れ、$D(\omega_1,\omega_2)=\left\vert \omega_1-\omega_2\right\vert$ とおく。$k=0,\dots,5$ について、分布 $P_D(\{k\})$ を求めよ。4. 3.2-4 $X\overset{d}{=}Y$ とし、$g$ を Borel 可測関数とする。このとき $g(X)\overset{d}{=}g(Y)$ であることを示せ。また、$X\overset{d}{=}Y$ であっても $X+X\overset{d}{=}X+Y$ とは限らないことを、例を1つ挙げて示せ。