この章のまとめ

確率論入門　第3章 §3.6

この章では、確率空間の上の数値を、逆像が事象になる関数（可測関数）として定義した。定義の要求はすべての Borel 集合の逆像についてのものだが、逆像で引き戻した集合族が σ加法族になることから、半直線 $\{X\le x\}$ だけを確かめれば十分であった。同じ理由で、連続関数との合成、和・積・最大値、列の上限や極限もすべて確率変数になる。確率変数が生成する σ加法族 $\sigma(X)$ は「$X$ の値から判定できる事象」の全体であり、第4章で独立性を定義するときの単位になる。

確率変数は実数直線の上に押し出し測度 $P_X=P\circ X^{-1}$ を作る。$g(X)$ の分布はこの測度だけで決まる。よって確率の計算は、もとの標本空間を忘れて $(\mathbb{R},\mathcal B(\mathbb{R}),P_X)$ の上で行える。

さらに半直線が π系であることと Dynkin の定理から、分布は分布関数 $F_X(x)=P(X\le x)$ だけで決まる。単調非減少・右連続・両端で 0 と 1 という3性質をもつ関数は、すべて何かの分布の分布関数になる。

左極限 $F(x-)$ は $P(X<x)$ に等しい。跳び $F(x)-F(x-)$ は原子の確率に等しい。原子は高々可算個しかない。

分布は離散・絶対連続・特異連続の3型の混合として一意に分解される（Lebesgue 分解）。特異連続の代表である Cantor 分布は、各点に確率をもたないのに長さ 0 の集合に確率 1 が集中しており、「連続なら密度がある」とは言えないことを示す例であった。

最後に、一般化逆関数 $F^{-1}$ を使えば、一様乱数 $U$ から与えられた分布関数をもつ確率変数が作れることを示した。それが $F^{-1}(U)$ である。これは分布の存在の別証明であり、乱数生成の標準的な方法でもある。

次の第4章では、複数の確率変数を同時に扱うために同時分布と独立性を定義する。そこでは本章の $\sigma(X)$ と、押し出し測度の $\mathbb{R}^2$ 版が使われる。第5章では期待値を Lebesgue 積分として構成し、$E[g(X)]=\int g\,\mathrm{d} P_X$ によって本章の分布の上の積分に書き直す。分布関数の言葉は、第6章の代表的な分布、第7章の変数変換、第11章の分布収束でそのまま使う。