確認テストの解答

確率論入門　第3章 §3.7

1. 3.1-1 $\mathcal F$ は、3つのブロック $\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}$ の和集合として書ける集合からなる。その数は $2^3=8$ 個である。

   • $X$ は可測でない。$\{X\le 1\}=\{1\}$ はどのブロックの和集合でもないので、$\mathcal F$ に入らない。
   • $Y$ は可測である。値 1, 2, 3 がそれぞれ1つのブロックに対応し、各ブロックの上で定数である（$Y=1$ が $\{1,2\}$、以下同様）。集合 $\{Y\le x\}$ は次のように変わり、すべて $\mathcal F$ に入る。

$$\{Y\le x\}=\begin{cases}\emptyset & (x<1)\\ \{1,2\} & (1\le x<2)\\ \{1,2,3,4\} & (2\le x<3)\\ \Omega & (x\ge3)\end{cases}$$ 2. 3.1-2 $c$ の符号で分ける。

• $c<0$ なら、不等式 $X^2\le c$ を満たす点はない。よって $\{X^2\le c\}=\emptyset$ である。
• $c\ge0$ なら、不等式 $X^2\le c$ は次と同値である。

$$-\sqrt c\le X\le\sqrt c$$

よって

$$\{X^2\le c\}=\{X\le\sqrt c\}\setminus\{X<-\sqrt c\}$$

である。定理 3.3 の (c) と (d) から右辺の2つの集合は $\mathcal F$ に入り、差集合も $\mathcal F$ に入る。

すべての $c$ で $\{X^2\le c\}\in\mathcal F$ である。よって (c) により $X^2$ は確率変数である。3. 3.1-3 $Z$ の値は次のとおりである。

$$Z(\omega)=\begin{cases}0 & (\omega\in[0,\frac14))\\ 1 & (\omega\in[\frac14,\frac12))\\ 2 & (\omega\in[\frac12,\frac34))\\ 3 & (\omega\in[\frac34,1))\end{cases}$$

$W=Z\bmod2$ は

$$\{W=0\}=[0,\tfrac14)\cup[\tfrac12,\tfrac34),\qquad\{W=1\}=[\tfrac14,\tfrac12)\cup[\tfrac34,1)$$

となる。$W$ の値は 0, 1 の2つなので、$\sigma(W)$ は次の4個である。

$$\sigma(W)=\{\emptyset,\ \{W=0\},\ \{W=1\},\ \Omega\}$$

$Z$ は4つの値をとる。$\{Z\in B\}$ は、$B$ がどの値を含むかで決まる4区間の和集合である。よって $\sigma(Z)$ は $2^4=16$ 個の元をもつ。4. 3.1-4 $c\in\mathbb{R}$ を固定し、$L_c=\{x : g(x)\le c\}$ とおく。点 $x\in L_c$ と $y\le x$ をとると、次が成り立つ。

$$g(y)\le g(x)\le c\quad\text{なので}\quad y\in L_c.$$

したがって $L_c$ は「ある点が入れば、それより左の点もすべて入る」集合である。$s=\sup L_c$ とおくと、$L_c$ は次のいずれかになる。

$$\emptyset,\qquad \mathbb{R},\qquad (-\infty,s),\qquad (-\infty,s].$$

実際、$L_c$ が空でなく上に有界なら $s$ は実数である。$s$ より小さい点はすべて $L_c$ に入り、大きい点は入らない。$s$ 自身が入るかどうかで2通りになる。

どれも Borel 集合である。よって定理 3.3 の (c) を $(\Omega,\mathcal F)=(\mathbb{R},\mathcal B(\mathbb{R}))$ に適用して、$g$ は Borel 可測である。5. 3.2-1 $P_X(\{c\})=P(X=c)$ なので、条件は $P(X=c)=1$ である。すなわち $X$ がほとんど確実に定数 $c$ に等しいことである。このとき Borel 集合 $B$ について、2つの場合がある。

• $c\in B$ なら、包含 $\{X\in B\}\supset\{X=c\}$ が成り立つ。よって $P_X(B)=1$ である。
• $c\notin B$ なら、$\{X\in B\}\subset\{X\ne c\}$ より次が成り立つ。

$$P_X(B)\le P(X\ne c)=0$$

したがって $P_X=\delta_c$ である。6. 3.2-2 $X=1/\omega$ は区間 $(0,1)$ の上で 1 より大きい値をとる。よって $x\le1$ なら事象 $\{X\le x\}$ は空で、確率は 0 である。1 より大きい $x$ では、次の同値が成り立つ。

$$\frac1\omega\le x\iff\omega\ge \frac1x$$

よって

$$P(X\le x)=P\bigl(\omega\in[1/x,1)\bigr)=1-\frac1x$$

である。したがって $P(X>10)=1-(1-\frac1{10})=\frac1{10}$ である。7. 3.2-3 36通りの組 $(\omega_1,\omega_2)$ のうち、差の絶対値が $k$ になる組の数を数える。

• $k=0$ では、対角の6通りである。
• $k\ge1$ では、第1の目が第2の目よりちょうどその差だけ大きい組が $6-k$ 通りある。その逆も同数あるので、計 $2(6-k)$ 通りである。

したがって

$$P_D(\{0\})=\tfrac{6}{36},\ P_D(\{1\})=\tfrac{10}{36},\ P_D(\{2\})=\tfrac{8}{36},\ P_D(\{3\})=\tfrac{6}{36},\ P_D(\{4\})=\tfrac{4}{36},\ P_D(\{5\})=\tfrac{2}{36}$$

となる。合計は $(6+10+8+6+4+2)/36=1$ である。8. 3.2-4 (3.8) から次が成り立つ。

$$P_{g(X)}=P_X\circ g^{-1},\qquad P_{g(Y)}=P_Y\circ g^{-1}.$$

$P_X=P_Y$ なので右辺どうしが等しく、$g(X)\overset{d}{=}g(Y)$ である。

後半の例として、確率 1/2 ずつで $\pm1$ をとる確率変数 $X$ を考える。$Y=-X$ とおく。$Y$ も同じ分布をもつので、$X\overset{d}{=}Y$ である。

しかし $X+X=2X$ は $\pm2$ をとる。一方 $X+Y$ は常に 0 なので、2つの分布は異なる。和の分布は各成分の分布だけでは決まらず、同時分布（第4章）が必要になる。9. 3.3-1 - (a) は分布関数である。導関数は次のとおり正なので、$F$ は増加する。

$$F'(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}>0$$

連続なので右連続であり、$x\to-\infty$ で 0、$x\to\infty$ で 1 に近づく。

• (b) は分布関数でない。$F(0)=\frac12$ だが $\lim_{h\downarrow0}F(h)=1$ なので、原点で右連続でない。
• (c) は分布関数でない。$x<0$ で $F(x)<0$ となり、値が区間 0〜1 に入らない。$x\to-\infty$ では $-\infty$ に発散するので、性質 (iii) が成り立たない。

10. 3.3-2 表 (3.12) と (3.11) を使って順に計算する。

$$\begin{aligned}P(X=0)&=F(0)-F(0-)=\tfrac13-0=\tfrac13,\\ P(X=1)&=F(1)-F(1-)=\bigl(1-\tfrac12\bigr)-\tfrac13=\tfrac16,\\ P(0<X<1)&=F(1-)-F(0)=\tfrac13-\tfrac13=0,\\ P(1\le X\le2)&=F(2)-F(1-)=\bigl(1-\tfrac12\mathrm{e}^{-1}\bigr)-\tfrac13=\tfrac23-\tfrac{1}{2\mathrm{e}}\approx0.4827,\\ P(X>2)&=1-F(2)=\tfrac{1}{2\mathrm{e}}\approx0.1839.\end{aligned}$$

検算として、互いに素な4つの事象の確率を足す。

$$P(X=0)+P(0<X<1)+P(1\le X\le2)+P(X>2)=\tfrac13+0+\tfrac23-\tfrac1{2\mathrm{e}}+\tfrac1{2\mathrm{e}}=1$$ 11. 3.3-3 次のように変形できる。

$$F_Y(y)=P(-X\le y)=P(X\ge-y)=1-P(X<-y)=1-F((-y)-)$$

事象 $X\ge -y$ が端点 $-y$ を含むので、左極限が現れる。3.3-2 の分布では、次の2通りの計算が一致する。

$$\begin{aligned}P(Y\le-1)&=1-F(1-)=1-\tfrac13=\tfrac23,\\ P(Y\le-1)&=P(X\ge1)=P(X=1)+P(X>1)=\tfrac16+\tfrac12=\tfrac23 &&\text{（直接計算）}.\end{aligned}$$ 12. 3.3-4 実数 $x$ を任意にとる。$D$ は稠密なので、右から収束する点列 $d_n\downarrow x$ をこの集合の中にとれる。各 $n$ で $F_X(d_n)=F_Y(d_n)$ であり、分布関数の右連続性から

$$F_X(x)=\lim_{n\to\infty}F_X(d_n)=\lim_{n\to\infty}F_Y(d_n)=F_Y(x)$$

となる。よって $F_X=F_Y$ が実数全体で成り立つ。定理 3.12(a) から $P_X=P_Y$、すなわち $X\overset{d}{=}Y$ である。13. 3.4-1 - (a) 離散（$\alpha_{\mathrm d}=1$）。$N$ は非負整数に値をとり、非負整数全体は可算集合だからである。

• (b) 離散と絶対連続の混合。$V=\min(U,\frac12)$ の値は、$U$ の範囲で次のように決まる。

$$V=\begin{cases}\frac12 & (U\ge\frac12,\ \text{確率 }\frac12)\\ U & (U<\frac12)\end{cases}$$

したがって $P(V=\frac12)=\frac12$ の原子をもち、残りは $[0,\frac12)$ 上の密度 1 で分布する。係数は次のとおりである。

$$\alpha_{\mathrm d}=\frac12,\qquad \alpha_{\mathrm{ac}}=\frac12,\qquad \alpha_{\mathrm{sc}}=0.$$

• (c) 絶対連続（$\alpha_{\mathrm{ac}}=1$）。$0\le x\le1$ で次が成り立つ。

$$P(U^2\le x)=P(U\le\sqrt x)=\sqrt x=\int_0^x\frac{\mathrm{d} t}{2\sqrt t}$$

つまり密度 $\frac{1}{2\sqrt t}$（$0<t<1$）の積分に等しい。14. 3.4-2 到着時刻 $T$ は、周期 $[0,100)$ 上の一様分布に従うとする。区間 $[0,60)$ を赤、$[60,100)$ を青とする。

• 青に着けば $W=0$ で、その確率は $\frac{40}{100}=0.4$ である。
• 赤の時刻 $T$ に着けば $W=60-T$ である。到着時刻が $[0,60)$ を一様に動くとき、待ち時間は $(0,60]$ を動く。

$0<w\le60$ では

$$P(0<W\le w)=P(60-w\le T<60)=\frac{w}{100}$$

である。したがって分布関数は

$$F_W(w)=\begin{cases}0&(w<0)\\ 0.4+\dfrac{w}{100}&(0\le w<60)\\ 1&(w\ge60)\end{cases}$$

となる。$w=60$ で $0.4+0.6=1$ となり、跳びは原点の1点だけである。係数は次のとおりである。

$$\alpha_{\mathrm d}=0.4\ (\text{原子 }0),\qquad \alpha_{\mathrm{ac}}=0.6\ (F_{\mathrm{ac}}\text{ は }\mathrm U(0,60)),\qquad \alpha_{\mathrm{sc}}=0.$$

最後に $P(W>30)=1-F_W(30)=1-0.7=0.3$ である。15. 3.4-3 $\frac19=(0.01)_3=(0.00222\cdots)_3$ と書き直すと、桁は 0, 2 だけである。よって (3.18) が使える。

$$F_{\mathrm C}(\tfrac19)=(0.00111\cdots)_2=\tfrac14$$

次に $\frac29=(0.02)_3$ なので、$F_{\mathrm C}(\frac29)=(0.01)_2=\frac14$ である。区間 $(\frac19,\frac29)$ は第2段で取り除いた区間なので、2つの値は等しい。

$\frac1{10}$ の3進展開は、3倍して整数部を取り出す操作で求める。

$$\begin{aligned}\tfrac1{10}\times3&=\tfrac3{10} &&\text{（整数部 0）}\\ \tfrac3{10}\times3&=\tfrac9{10} &&\text{（整数部 0）}\\ \tfrac9{10}\times3&=2+\tfrac7{10} &&\text{（整数部 2）}\\ \tfrac7{10}\times3&=2+\tfrac1{10} &&\text{（整数部 2）}\end{aligned}$$

以後繰り返す。よって $\frac1{10}=(0.\overline{0022})_3$ で、桁は 0, 2 だけである。対応する2進数は

$$F_{\mathrm C}(\tfrac1{10})=(0.\overline{0011})_2=\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{1-1/16}=\frac{3}{15}=\frac15$$

である。したがって答えは次のとおりである。

$$P(X\le\tfrac19)=P(X\le\tfrac29)=\tfrac14,\qquad P(X\le\tfrac1{10})=\tfrac15.$$ 16. 3.4-4 $x<y$ とすると

$$\left\vert F(y)-F(x)\right\vert =\int_x^y f(t)\,\mathrm{d} t\le\int_x^y M\,\mathrm{d} t=M(y-x)$$

となる。$x>y$ でも同じである。したがって $F$ は（Lipschitz）連続である。(3.11) から $P(X=x)=F(x)-F(x-)=0$ となり、原子はない。

（$f$ が有界でない場合も結論は正しいが、その証明には第5章の Lebesgue 積分の性質を使う。）17. 3.5-1 分布関数は次のとおりである。

$$F(x)=\begin{cases}0 & (x<0)\\ 1-p & (0\le x<1)\\ 1 & (x\ge1)\end{cases}$$

$F(x)\ge u$ となる最小の点は、$u$ の大きさで決まる。$u\le1-p$ なら 0、$u>1-p$ なら 1 である。したがって

$$F^{-1}(u)=\begin{cases}0&(0<u\le1-p)\\ 1&(1-p<u<1)\end{cases},\qquad F^{-1}(U)=\mathbf 1_{\{U>1-p\}}$$

であり、$P(F^{-1}(U)=1)=P(U>1-p)=p$ となって確かに Bernoulli 分布に従う。18. 3.5-2 $F$ は連続で狭義増加なので、$u=\frac12+\frac1\pi\arctan x$ を解けばよい。

$$F^{-1}(u)=\tan\bigl(\pi(u-\tfrac12)\bigr)$$

値は $F^{-1}(0.75)=\tan(\pi/4)=1$、$F^{-1}(0.975)=\tan(0.475\pi)\approx12.706$ である。正規分布では上側2.5%点が約1.96であるのに比べてはるかに大きく、Cauchy 分布の裾が重いことが分かる。19. 3.5-3 $F$ の形は次のとおりである。

• 区間 $[0,1)$ で、0 から $\frac14$ へ傾き 1/4 で増える。
• 区間 $[1,2)$ で、1/2 から $\frac34$ へ傾き 1/4 で増える。
• 点 1 と点 2 で、$\frac14$ ずつ跳ぶ。

$F(x)\ge u$ となる最小の $x$ を区間ごとに求めると

$$F^{-1}(u)=\begin{cases}4u & (0<u\le\frac14)\\ 1 & (\frac14<u\le\frac12)\\ 1+4(u-\frac12) & (\frac12<u\le\frac34)\\ 2 & (\frac34<u<1)\end{cases}$$

となる。第1行は $x/4=u$ を解いたもの、第3行は $\frac12+\frac{x-1}{4}=u$ を解いたものである。

境目の $u=\frac14$ を確かめる。$x<1$ のすべての点で $F(x)=x/4<\frac14$ である。一方 $F(1)=\frac12\ge\frac14$ なので、$F^{-1}(\frac14)=1$ となる。

第1行の式も $4\cdot\frac14=1$ を与えるので、どちらの行に含めても値は同じである。境目 $u=\frac34$ も同様に $F^{-1}(\frac34)=2$ である。

$F^{-1}(u)=1$ となるのは $\frac14\le u\le\frac12$ のときである。この区間の長さは $\frac14$ なので、$P(F^{-1}(U)=1)=\frac14$ である。これは例題 3.4 の $P(X=1)$ と一致する。20. 3.5-4 $u\in(0,1)$ を固定し、$L=\{x : F(x)\le u\}$ とおく。$F$ は非減少なので、$L$ は 3.1-4 の解答と同じく左に閉じた形の集合である。つまり次のいずれかである。

$$\emptyset,\qquad (-\infty,s),\qquad (-\infty,s].$$

$F(x)\to1>u$ なので、$L=\mathbb{R}$ にはならない。また $\{F(X)\le u\}=\{X\in L\}$ である。場合ごとに確率を抑える。

• $L=\emptyset$ なら、確率は $0\le u$ である。
• $L=(-\infty,s]$ なら、右端が入るので $P(X\in L)=F(s)\le u$ である。
• $L=(-\infty,s)$ なら、右端より左のすべての点で $F(x)\le u$ である。よって次が成り立つ。

$$P(X\in L)=P(X<s)=F(s-)=\lim_{x\uparrow s}F(x)\le u$$

いずれの場合も $P(F(X)\le u)\le u$ が成り立つ。$F$ が連続なら、定理 3.21 により等号になる。