多変数の変数変換とヤコビアン（極座標・Box–Muller）

2026年10月15日22分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7章変数変換と畳み込み

多変数の置換積分とヤコビアン
密度の変換公式
補助変数を足す方法
極座標と Box–Muller 法
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

確率論入門　第7章 §7.2　★★★ 1変数の $\left\vert h'\right\vert$ がヤコビアンの絶対値に置き換わる。極座標と補助変数の導入が二大定石

多変数の置換積分とヤコビアン

確率ベクトル $\bm X=(X_1,\dots,X_n)$ が同時密度 $f$ を持つとは、次が成り立つことであった（第4章 §4.3）。

$P(\bm X\in B)=\int_Bf(\bm x)\,\mathrm{d}\bm x\qquad(B\in\mathcal B(\mathbb{R}^n))$

1変数の (7.5) の多変数版を、解析学から借りる。

定理 7.3（多変数の置換積分の公式）

$U,V\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とする。 $h:V\to U$ は全単射とする。 $h$ も逆写像も $C^1$ 級であるとする。このような写像を $C^1$ 級微分同相と呼ぶ。 $h$ のヤコビ行列を

$Dh(\bm y)=\Bigl(\frac{\partial h_i}{\partial y_j}\Bigr)_{i,j}$

と書き、その行列式をヤコビアンと呼ぶ。このとき非負の Borel 可測関数 $\varphi$ について

$\int_U\varphi(\bm x)\,\mathrm{d}\bm x=\int_V\varphi\bigl(h(\bm y)\bigr)\,\left\vert \det Dh(\bm y)\right\vert \,\mathrm{d}\bm y.\tag{7.9}$

証明は解析学の本に譲り、ここでは $\left\vert \det Dh\right\vert$ が現れる理由の筋を2段で示す。

線形写像の場合。正則な $n\times n$ 行列 $A$ について、次が成り立つ。

$\mathrm{Leb}(A(B))=\left\vert \det A\right\vert \,\mathrm{Leb}(B)$

$A$ は基本行列（2つの座標の入れ替え・1つの座標の定数倍・1つの座標に別の座標の定数倍を足す）の積に分解できる。それぞれについて、直方体の体積の変化が $\left\vert \det\right\vert$ 倍であることは直接確かめられる。直方体で一致する2つの測度は、第2章 §2.3 の一意性によって一致する。2. 一般の $h$ の場合。各点の近くで、 $h$ は1次近似で書ける。

$h(\bm y+\Delta\bm y)\approx h(\bm y)+Dh(\bm y)\Delta\bm y$

したがって、点 $\bm y$ の近くの小さな直方体は、体積が $\left\vert \det Dh(\bm y)\right\vert$ 倍の平行六面体に写る（図 7.2）。 $V$ を小さな直方体に分割してこの近似を足し合わせ、分割を細かくする極限をとると (7.9) が得られる。

図 7.2　極座標の写像 $h(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ が、 $(r,\theta)$ 平面の小さな長方形（面積 $\Delta r\,\Delta\theta$ ）を $(x,y)$ 平面の扇形の一部に写す様子。扇形の弧の長さは $r\Delta\theta$ なので面積は約 $r\,\Delta r\,\Delta\theta$ で、比 $r$ がヤコビアンの絶対値 $\left\vert \det Dh\right\vert =r$ に当たる。

密度の変換公式

定理 7.4（多変数の変数変換 ★★★）

次の2つを仮定する。

(i) 確率ベクトル $\bm X$ は同時密度 $f$ を持つ。開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ について $P(\bm X\in U)=1$ である。
(ii) $g:U\to V$ は $C^1$ 級微分同相である。 $V=g(U)$ は開集合である。

$h=g^{-1}$ と置く。このとき $\bm Y=g(\bm X)$ は同時密度

$f_{\bm Y}(\bm y)=f\bigl(h(\bm y)\bigr)\,\left\vert \det Dh(\bm y)\right\vert \,\mathbf 1_V(\bm y)\tag{7.10}$

を持つ。 $\bm x=h(\bm y)$ と置くと $\det Dh(\bm y)=1/\det Dg(\bm x)$ なので、次のようにも書ける。

$f_{\bm Y}(\bm y)=\frac{f(\bm x)}{\left\vert \det Dg(\bm x)\right\vert }$

証明

$B\in\mathcal B(\mathbb{R}^n)$ をとる。 $\bm x\in U$ について次の同値が成り立つ。

$g(\bm x)\in B\iff\bm x\in h(B\cap V)$

したがって

$P(\bm Y\in B)=P\bigl(\bm X\in h(B\cap V)\bigr)=\int_U\mathbf 1_{h(B\cap V)}(\bm x)f(\bm x)\,\mathrm{d}\bm x.$

置換積分 (7.9) を $\varphi=\mathbf 1_{h(B\cap V)}f$ に使う。 $\bm y\in V$ では次が成り立つ。

$\mathbf 1_{h(B\cap V)}(h(\bm y))=\mathbf 1_{B}(\bm y)$

したがって

$P(\bm Y\in B)=\int_V\mathbf 1_B(\bm y)f\bigl(h(\bm y)\bigr)\left\vert \det Dh(\bm y)\right\vert \,\mathrm{d}\bm y=\int_Bf_{\bm Y}(\bm y)\,\mathrm{d}\bm y.$

最後に、連鎖律から次が成り立ち、別の形が出る。

$\det Dh(\bm y)\det Dg(\bm x)=\det\bigl(D(g\circ h)(\bm y)\bigr)=\det I=1$

系 7.5（1次変換と多変量正規分布 ★★）

$A$ を正則な $n\times n$ 行列とする。 $\bm b\in\mathbb{R}^n$ とする。 $\bm Y=A\bm X+\bm b$ の同時密度は

$f_{\bm Y}(\bm y)=\frac{1}{\left\vert \det A\right\vert }\,f\bigl(A^{-1}(\bm y-\bm b)\bigr)\tag{7.11}$

である。とくに $Z_1,\dots,Z_n$ が独立で $\mathrm N(0,1)$ に従うとする。 $\bm Y=A\bm Z+\bm\mu$ なら、 $\Sigma=AA^\top$ と置いて

$f_{\bm Y}(\bm y)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(\det\Sigma)^{1/2}}\exp\Bigl(-\frac12(\bm y-\bm\mu)^\top\Sigma^{-1}(\bm y-\bm\mu)\Bigr).\tag{7.12}$

これが第6章 §6.2 の多変量正規分布 $\mathrm N_n(\bm\mu,\Sigma)$ の密度である。第6章の $\mathrm N_d$ で次元を $n$ としたものにあたる。

証明

$g(\bm x)=A\bm x+\bm b$ は $\mathbb{R}^n$ の上の微分同相である。逆写像とヤコビアンは

$h(\bm y)=A^{-1}(\bm y-\bm b),\qquad Dh=A^{-1},\qquad \left\vert \det A^{-1}\right\vert =\frac{1}{\left\vert \det A\right\vert }$

だから、定理 7.4 から (7.11) が出る。

第4章 §4.3 により、 $\bm Z$ の同時密度は周辺密度の積である。

$f_{\bm Z}(\bm z)=(2\pi)^{-n/2}\exp\bigl(-\tfrac12\left\vert \bm z\right\vert ^2\bigr)$

$\bm w=\bm y-\bm\mu$ と置くと

$\left\vert A^{-1}\bm w\right\vert ^2=\bm w^\top(A^{-1})^\top A^{-1}\bm w=\bm w^\top(AA^\top)^{-1}\bm w=\bm w^\top\Sigma^{-1}\bm w,$

となる。また $\det\Sigma=(\det A)^2$ から $\left\vert \det A\right\vert =(\det\Sigma)^{1/2}$ である。これらを (7.11) に入れれば (7.12) を得る。

(7.12) は $A$ そのものでなく $\Sigma=AA^\top$ だけで決まる。したがって、 $A$ に右から直交行列を掛けても、 $\bm Y$ の分布は変わらない。

とくに $\bm\mu=\bm 0$ で $A$ が直交行列なら、共分散行列は単位行列である。独立な標準正規の組は、回転しても独立な標準正規の組のままである（確認テスト 7.2-3）。

補助変数を足す方法

$\bm X$ の1つの関数、たとえば $X_1/X_2$ の分布だけが欲しいとする。 $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ の写像は微分同相になりえないので、定理 7.4 を直接使うことはできない。そこで次の3段で計算する。

欲しい関数 $Y_1=g_1(\bm X)$ に、補助の関数 $Y_2,\dots,Y_n$ を付け足して微分同相を作る。
定理 7.4 で $\bm Y$ の同時密度を求める。
余分な変数について積分して、周辺密度 $f_{Y_1}$ を得る。

補助変数は「逆写像とヤコビアンが簡単になるように」選ぶのが定石である。次の例題はこの方法の典型例で、その答えからガンマ分布の和についての大事な結果が得られる。

例題 7.3　ガンマ分布の和と比（ベータ分布） ★★★

オリジナル $\alpha,\beta,\lambda>0$ とする。 $X\sim\mathrm{Ga}(\alpha,\lambda)$ と $Y\sim\mathrm{Ga}(\beta,\lambda)$ が独立であるとする。 $U=X+Y$ 、 $V=X/(X+Y)$ と置く。

$(U,V)$ の同時密度を求めよ。
次の3つを示せ。
- (i) $U\sim\mathrm{Ga}(\alpha+\beta,\lambda)$ である。
- (ii) $V$ は次の密度を持つ。

$\dfrac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}\qquad(0<v<1)$

(iii) $U$ と $V$ は独立である。

ベータ関数の公式 $\displaystyle\int_0^1v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}\,\mathrm{d} v=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ が (2) から従うことを説明せよ。

解答

(1) 第4章 §4.3 により $(X,Y)$ の同時密度は $U_0=(0,\infty)^2$ の上で

$f(x,y)=\frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\lambda^\beta y^{\beta-1}\mathrm{e}^{-\lambda y}}{\Gamma(\beta)}$

である。次の写像は、 $U_0$ から $V_0=(0,\infty)\times(0,1)$ への全単射である。

$g(x,y)=\Bigl(x+y,\ \frac{x}{x+y}\Bigr),\qquad h(u,v)=g^{-1}(u,v)=\bigl(uv,\ u(1-v)\bigr)$

実際、2つの成分を足すと $uv+u(1-v)=u$ である。また、和に対する第1成分の比は $v$ である。ヤコビ行列と行列式は

$Dh(u,v)=\begin{pmatrix}v&u\\1-v&-u\end{pmatrix},\qquad \det Dh=-uv-u(1-v)=-u$

で、 $\left\vert \det Dh\right\vert =u$ である。定理 7.4 から、 $V_0$ の上で

$f_{U,V}(u,v)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}(uv)^{\alpha-1}\bigl(u(1-v)\bigr)^{\beta-1}\mathrm{e}^{-\lambda u}\cdot u =\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\,u^{\alpha+\beta-1}\mathrm{e}^{-\lambda u}\,v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}.$

指数の肩では $\lambda x+\lambda y=\lambda u$ を使った。

(2) (1) の式を

$f_{U,V}(u,v)=\underbrace{\frac{\lambda^{\alpha+\beta}u^{\alpha+\beta-1}\mathrm{e}^{-\lambda u}}{\Gamma(\alpha+\beta)}}_{=:p(u)}\cdot \underbrace{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}}_{=:q(v)}$

と分ける。周辺密度と独立性を順に確かめる。

(i) $V$ の周辺密度。 $p$ は $\mathrm{Ga}(\alpha+\beta,\lambda)$ の密度だから、その積分は1である。したがって

$f_V(v)=\int_0^\infty p(u)q(v)\,\mathrm{d} u=q(v).$

(ii) $U$ の周辺密度。 $f_{U,V}$ は確率密度なので、全体の積分は1である。

$\begin{aligned}f_U(u)&=p(u)\int_0^1q(v)\,\mathrm{d} v,\\ 1&=\int\!\!\int f_{U,V}=\int_0^1q(v)\,\mathrm{d} v\end{aligned}$

したがって $f_U=p$ を得る。

(iii) 独立性。台 $V_0$ は長方形で、 $f_{U,V}=f_Uf_V$ が成り立つ。第4章 §4.3 の定理により、 $U$ と $V$ は独立である。

(3) (2) の途中で $\int_0^1q(v)\,\mathrm{d} v=1$ が出た。 $q$ の定義を代入すると、これは

$\int_0^1v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}\,\mathrm{d} v=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

そのものである。この等式を事前に知らなくても、確率の総和が1であることと Gamma 関数の積分だけからベータ関数の値が決まった。

$V$ の分布をベータ分布 $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ と呼ぶ。 $\alpha=\beta=1$ では $X,Y\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ であり、次のようになる。

$X+Y\sim\mathrm{Ga}(2,\lambda),\qquad \frac{X}{X+Y}\sim\mathrm U(0,1)$

2つの待ち時間の合計を知っても、その中で1つ目が占める割合は一様で、合計の長さとは無関係である。

極座標と Box–Muller 法

平面の確率ベクトルで、密度が原点からの距離だけで決まるときは、極座標

$h(r,\theta)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta),\qquad (r,\theta)\in V=(0,\infty)\times(0,2\pi)$

が最も見通しの良い変換である。原点と正の $x$ 軸を除いた平面を

$U=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0):x\ge0\}$

と置く。 $h$ はこの2つの集合のあいだの $C^1$ 級微分同相で、

$Dh(r,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix},\qquad\det Dh=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$

である。除いた半直線は面積0である。密度を持つ確率ベクトルがそこに入る確率は0なので、無視してよい。

定理 7.6（2次元標準正規の極座標表示 ★★★）

$X,Y$ が独立で $\mathrm N(0,1)$ に従うとする。次の式で $(R,\Theta)$ を定める。

$(X,Y)=(R\cos\Theta,R\sin\Theta),\qquad R>0,\quad 0<\Theta<2\pi$

このとき $R$ と $\Theta$ は独立で、

$f_R(r)=r\,\mathrm{e}^{-r^2/2}\quad(r>0),\qquad \Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)\tag{7.13}$

である。また $R^2=X^2+Y^2\sim\mathrm{Ex}(\frac12)$ である。

証明

$(X,Y)$ の同時密度は $f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2}$ である。 $(R,\Theta)=h^{-1}(X,Y)$ に定理 7.4 を使う。逆写像は $h$ そのもので、 $\left\vert \det Dh\right\vert =r$ である。したがって $V$ の上で

$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-r^2/2}\cdot r=\bigl(r\mathrm{e}^{-r^2/2}\bigr)\cdot\frac{1}{2\pi}.$

台 $V$ は長方形で、密度は動径だけの関数と角度だけの関数の積に分かれる。それぞれの積分は

$\int_0^\infty r\mathrm{e}^{-r^2/2}\mathrm{d} r=1,\qquad \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}=1$

なので、(7.13) と独立性が従う。

$R^2$ については、 $g(r)=r^2$ が正の実数の上で単調増加である。逆関数は $h(s)=\sqrt s$ で、 $h'(s)=\frac{1}{2\sqrt s}$ である。定理 7.1 により、 $s>0$ で

$f_{R^2}(s)=\sqrt s\,\mathrm{e}^{-s/2}\cdot\frac{1}{2\sqrt s}=\frac12\mathrm{e}^{-s/2}$

となる。

$R$ の分布を Rayleigh 分布と呼ぶ。この定理の副産物として、正規分布の正規化定数が得られる。 $c=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{e}^{-x^2/2}\mathrm{d} x$ と置くと

$\begin{aligned}c^2&=\int_{\mathbb{R}^2}\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\\ &=\int_0^{2\pi}\!\int_0^\infty\mathrm{e}^{-r^2/2}r\,\mathrm{d} r\,\mathrm{d}\theta=2\pi &&\text{（極座標に置換した）}\end{aligned}$

となり、 $c=\sqrt{2\pi}$ である。

定理 7.6 を逆向きに読むと、一様乱数から正規乱数を作る方法になる。第3章 §3.5 の逆変換法で $R$ と $\Theta$ を作り、直交座標に戻せばよい。

定理 7.7（Box–Muller 法 ★★★）

$U_1,U_2$ が独立で $\mathrm U(0,1)$ に従うとする。

$X=\sqrt{-2\log U_1}\,\cos(2\pi U_2),\qquad Y=\sqrt{-2\log U_1}\,\sin(2\pi U_2)\tag{7.14}$

と置くと、 $X,Y$ は独立で $\mathrm N(0,1)$ に従う。

証明

$R=\sqrt{-2\log U_1}$ 、 $\Theta=2\pi U_2$ と置く。第4章 §4.2 のまとめ方の補題により、 $R$ と $\Theta$ は独立である。また $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$ である。 $r>0$ について

$P(R>r)=P\bigl(-2\log U_1>r^2\bigr)=P\bigl(U_1<\mathrm{e}^{-r^2/2}\bigr)=\mathrm{e}^{-r^2/2}$

だから $f_R(r)=r\mathrm{e}^{-r^2/2}$ である。よって $(R,\Theta)$ の同時密度は、 $V$ の上で

$f_{R,\Theta}(r,\theta)=r\mathrm{e}^{-r^2/2}\cdot\frac{1}{2\pi}$

となる。これは定理 7.6 の証明に現れたものと同じである。 $(X,Y)=h(R,\Theta)$ に定理 7.4 を使う。逆写像 $h^{-1}$ のヤコビアンは $1/r$ なので、

$f_{X,Y}(x,y)=\frac{r\mathrm{e}^{-r^2/2}}{2\pi}\cdot\frac1r=\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2}\qquad(r=\sqrt{x^2+y^2})$

となる。これは独立な2つの $\mathrm N(0,1)$ の同時密度である。

Box–Muller 法は、 $\Phi^{-1}$ を数値的に計算せずに、対数・平方根・三角関数だけで正規乱数を2つずつ作る。一様乱数から作った (7.14) を図に描くと、 $U_1$ が小さい（確率の小さい）ときにだけ原点から遠くへ飛ぶ点ができる。こうして正規分布の裾が再現される。

例題 7.4　2つの標準正規の距離と比 ★★

オリジナル $X,Y$ が独立で $\mathrm N(0,1)$ に従うとする。

点 $(X,Y)$ が原点を中心とする半径 $\rho$ の円板に入る確率を求めよ。また、それが 1/2 になる $\rho$ を求めよ。
$Y/X$ が標準 Cauchy 分布に従うことを示せ。

解答

(1) 定理 7.6 により、 $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ の密度は $r\mathrm{e}^{-r^2/2}$ である。したがって

$P(X^2+Y^2\le\rho^2)=P(R\le\rho)=\int_0^\rho r\mathrm{e}^{-r^2/2}\,\mathrm{d} r=1-\mathrm{e}^{-\rho^2/2}.$

これが 1/2 になるのは $\mathrm{e}^{-\rho^2/2}=\frac12$ のとき、すなわち $\rho=\sqrt{2\log2}\approx1.177$ のときである。各座標の標準偏差は1だが、2次元では半分の確率を囲むのに半径1.18ほど要る。

(2) $P(X=0)=0$ なので $Y/X$ はほとんど確実に定義される。 $Y/X=\tan\Theta$ で、 $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$ である。正接は周期 $\pi$ を持つので、角度を2段で区間 $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ へ折り返す。

(i) $\Theta'=\Theta-\pi\cdot\mathbf 1\{\Theta>\pi\}$ と置く。 $\tan\Theta=\tan\Theta'$ であり、 $\Theta'\sim\mathrm U(0,\pi)$ である。実際 $0<t<\pi$ について

$P(\Theta'\le t)=P(\Theta\le t)+P(\pi<\Theta\le\pi+t)=\frac{2t}{2\pi}=\frac t\pi.$

(ii) $\Theta''=\Theta'-\pi\cdot\mathbf 1\{\Theta'>\frac\pi2\}$ と置く。同じ計算で $\Theta''\sim\mathrm U(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ である。また $\tan\Theta''=\tan\Theta'$ である。

例題 7.1 (1) から、 $Y/X=\tan\Theta''$ は標準 Cauchy 分布に従う。

$X,Y$ は裾の軽い正規分布に従うのに、その比は平均すら持たない分布になる。分母の $X$ が0の近くに来る確率が、比を大きく振らせるからである。

確認テスト

オリジナル

7.2-1 $X,Y$ が独立で $\mathrm U(0,1)$ に従うとする。 $(S,D)=(X+Y,\ X-Y)$ の同時密度を求めよ（値をとる範囲も書くこと）。
7.2-2 $X,Y$ が独立で $\mathrm U(0,1)$ に従うとする。補助変数 $W=X$ を使って $Z=XY$ の密度を求めよ。また $P(Z\le\frac12)$ を求めよ。
7.2-3 $X,Y$ が独立で $\mathrm N(0,1)$ に従うとする。次の $U,V$ も独立で $\mathrm N(0,1)$ に従うことを示せ。

$U=\frac{X+Y}{\sqrt2},\qquad V=\frac{X-Y}{\sqrt2}$

これを使って $X+Y\sim\mathrm N(0,2)$ を示せ。4. 7.2-4 $(X,Y)$ が単位円板 $\{x^2+y^2<1\}$ 上の一様分布に従うとする。 $S=X^2+Y^2$ と置く。 $S\sim\mathrm U(0,1)$ を示せ。また、 $S$ と偏角 $\Theta$ が独立であることを示せ。

さらに、次の組が独立な2つの $\mathrm N(0,1)$ であることを、定理 7.7 の証明と同じ考え方で導け（Marsaglia の極座標法）。

$\Bigl(X\sqrt{-2\log S/S},\ Y\sqrt{-2\log S/S}\Bigr)$

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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