1変数の変数変換（単調な場合と一般の場合）

確率論入門　第7章 §7.1　★★★ 密度は「確率を保存する」ように変換される。単調なら1項、単調でなければ逆像の枝ごとの和

第3章で確率変数 $X$ の分布 $P_X$ を定め、第6章で代表的な分布を一覧にした。実際の問題では、分布の分かった確率変数をそのまま観測するより、その関数を観測することのほうが多い。半径が分かれば面積 $\pi X^2$ を、2つの待ち時間が分かればその和を、事故の件数と1件ごとの損害額が分かれば損害の総額を知りたくなる。

この章では、$X$ の分布から $g(X)$ の分布を計算する手続きを、1変数（§7.1）、多変数（§7.2）、独立な確率変数の和（§7.3）、足し合わせる個数そのものが確率変数である和（§7.4）の順に整える。

道具は2つしかない。1つ目は、押し出し測度の定義 $P_{g(X)}(B)=P(X\in g^{-1}(B))$ そのものである（第3章 §3.2）。2つ目は、積分の変数変換の公式で、これが密度の変換規則に「ヤコビアンの絶対値」という因子を持ち込む。独立和の分布は、第4章の「独立なら同時分布は周辺分布の積測度」と累次積分を組み合わせると、畳み込みという形にまとまる。

この章で使う前の章の結果を、式の形で先に書いておく。第3章 §3.4 の意味で $X$ が密度 $f$ を持つとは

$$P(X\in B)=\int_Bf(x)\,\mathrm{d} x\qquad(B\in\mathcal B(\mathbb{R}))\tag{7.1}$$

が成り立つことであり、分布関数で言えば $F_X(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,\mathrm{d} t$ がすべての $x$ で成り立つことと同値である（第3章 §3.3 の一対一対応）。第4章 §4.3 からは、$X,Y$ が独立であることと同時分布が積測度 $P_{(X,Y)}=P_X\otimes P_Y$ になることの同値性を借りる。第5章からは、期待値が変数変換公式 $E[g(X)]=\int g\,\mathrm{d} P_X$ で計算できること（§5.3）、独立なら $E[XY]=E[X]E[Y]$（§5.4）、単調収束定理と優収束定理（§5.2）、および非負可測関数の累次積分の順序を入れ替えてよいこと（Tonelli の定理）

$$\int_{\mathbb{R}^2}\phi\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)=\int_{\mathbb{R}}\Bigl(\int_{\mathbb{R}}\phi(x,y)\,\mu(\mathrm{d} x)\Bigr)\nu(\mathrm{d} y)=\int_{\mathbb{R}}\Bigl(\int_{\mathbb{R}}\phi(x,y)\,\nu(\mathrm{d} y)\Bigr)\mu(\mathrm{d} x)\qquad(\phi\ge0)\tag{7.2}$$

を借りる。ここで $\int g(x)\,\mu(\mathrm{d} x)$ は $\int g\,\mathrm{d}\mu$ と同じもので、積分する変数を明示したいときにこう書く。分布の名前と密度は第6章のとおりである。とくにガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha,\lambda)$ の密度

$$\frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}\qquad(x>0)$$

と、$\mathrm{Ex}(\lambda)=\mathrm{Ga}(1,\lambda)$ を使う。Lebesgue 測度は第2章にならって $\mathrm{Leb}$ と書く。

この章の結果の使い道も書いておく。§7.3 の畳み込みは、第8章・第9章で母関数と特性関数を導入する直接の動機になる。畳み込みの積分は一般に計算が重いが、特性関数をとると積に変わるからである（第9章 §9.3）。

§7.2 の Box–Muller 法は、第12章の Monte Carlo 法で正規乱数を作る方法として使う。§7.4 のランダム和と Wald の等式は、第14章の Poisson 過程の間引きと、第15章の到達時間の計算で再び現れる。

分布関数を経由する方法

$X$ を確率変数、$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を Borel 可測関数とする。第3章 §3.1 により $Y=g(X)$ も確率変数で、その分布は押し出し測度の定義から

$$P_Y(B)=P(g(X)\in B)=P\bigl(X\in g^{-1}(B)\bigr)=P_X\bigl(g^{-1}(B)\bigr)\tag{7.3}$$

で決まる。原理としてはこれで終わりだが、実際に $P_Y$ を分布関数や密度の形で書き下すには、逆像 $g^{-1}(B)$ を具体的に求める必要がある。最も素朴な方法は $B=(-\infty,y]$ ととって分布関数

$$F_Y(y)=P\bigl(X\in g^{-1}((-\infty,y])\bigr)\tag{7.4}$$

を計算し、それを $y$ で微分して密度の候補を得る方法である。分布関数は分布を決めるので（第3章 §3.3）、(7.4) が分かれば $Y$ の分布はすべて分かる。

この例では「微分したものが密度である」ことを暗黙に使った。$F_Y$ が微分可能でも、その導関数を積分して $F_Y$ に戻るとは限らない。第3章 §3.4 の Cantor 関数は、ほとんどいたるところで微分係数0を持つが、$F_{\mathrm C}(1)=1$ である。そこで、微分する代わりに積分の置換で $F_Y(y)=\int_{-\infty}^yf_Y$ の形を直接作る、という方針で定理を述べる。

単調な変換

実解析の置換積分の公式を、Lebesgue 積分の形で1つ借りる。設定は次のとおりである。

• $J$ は開区間とする。$h:J\to\mathbb{R}$ は $C^1$ 級である。
• $h'$ は $J$ 上で0にならない。
• $I=h(J)$ と置く。$h$ は狭義単調なので $I$ も開区間である。また $h:J\to I$ は全単射である。

このとき、非負の Borel 可測関数 $\varphi$ と Borel 集合 $B\subset J$ について

$$\int_{h(B)}\varphi(x)\,\mathrm{d} x=\int_B\varphi\bigl(h(v)\bigr)\,\left\vert h'(v)\right\vert \,\mathrm{d} v\tag{7.5}$$

が成り立つ。$\varphi$ が連続で $B$ が区間なら、これは微積分の置換積分そのものである。$h$ が減少関数のときは積分の上端と下端が入れ替わり、その符号を $\left\vert h'\right\vert$ が吸収する。

一般の $\varphi$ と $B$ への拡張は、次の2つの測度に第2章 §2.3 の一意性を使う標準的な議論による。

$$B\mapsto\int_{h(B)}\varphi,\qquad B\mapsto\int_B\varphi(h)\left\vert h'\right\vert$$

この2つは区間の上で一致する。(7.5) は §7.2 の多変数の公式 (7.9) の $n=1$ の場合でもある。

証明

$g'$ は連続で $I$ 上で0にならない。中間値の定理により、$g'$ は $I$ 上で常に正か常に負である。

したがって $g$ は狭義単調で、$J$ は開区間である。$h$ は $C^1$ 級である。$h'(y)=1/g'(h(y))\ne0$ を満たす。

Borel 集合 $B\subset\mathbb{R}$ をとる。$P(X\in I)=1$ なので、$X$ が区間の外にある零集合を除いてよい。すると

$$P(Y\in B)=P\bigl(X\in I,\ g(X)\in B\bigr)=P\bigl(X\in h(B\cap J)\bigr)=\int_{h(B\cap J)}f(x)\,\mathrm{d} x.$$

2つ目の等号は、$x\in I$ について $g(x)\in B\iff g(x)\in B\cap J\iff x\in h(B\cap J)$ による。置換の公式 (7.5) を $\varphi=f$、$B\cap J$ に使うと

$$P(Y\in B)=\int_{B\cap J}f\bigl(h(y)\bigr)\left\vert h'(y)\right\vert \,\mathrm{d} y=\int_Bf_Y(y)\,\mathrm{d} y$$

となり、(7.1) の意味で $f_Y$ は $Y$ の密度である。

(7.6) の因子 $\left\vert h'(y)\right\vert$ は、確率の保存から理解することができる。次の2つの確率は等しい。

$$P\bigl(Y\text{ が }y\text{ の近くの幅 }\Delta y\text{ の区間に入る}\bigr) =P\bigl(X\text{ が }x=h(y)\text{ の近くの幅 }\left\vert h'(y)\right\vert \Delta y\text{ の区間に入る}\bigr)$$

したがって

$$f_Y(y)\,\Delta y\approx f(x)\,\left\vert h'(y)\right\vert \,\Delta y$$

となる。$g$ が区間を引き伸ばす所（$\left\vert g'\right\vert$ が大きい所）では、同じ確率がより広い幅に広がるので、密度はその分だけ薄くなる。

単調でない変換：逆像の枝ごとの和

正規分布の2乗の例のように、$g$ が単調でないと、$Y=y$ となる点が複数ある。そのときは $g$ が単調になる区間に定義域を分け、各区間で定理 7.1 を使って足し合わせる。

証明

Borel 集合 $B$ をとる。事象 $\{X\in I_k\}$ たちは互いに素で、その和の確率は1である。確率の加法性と、定理 7.1 の証明と同じ計算から

$$P(Y\in B)=\sum_kP\bigl(X\in I_k,\ g(X)\in B\bigr)=\sum_k\int_{h_k(B\cap J_k)}f(x)\,\mathrm{d} x =\sum_k\int_Bf\bigl(h_k(y)\bigr)\left\vert h_k'(y)\right\vert \mathbf 1_{J_k}(y)\,\mathrm{d} y.$$

$m$ が可算無限のときは、最後に非負関数の和と積分を入れ替える（単調収束定理、第5章 §5.2）。右辺は $\int_Bf_Y$ に等しい。

(7.8) の和は「$Y=y$ になる $x$ をすべて集め、それぞれの寄与を足す」という意味である。正規分布の2乗の例は、次の場合にあたる。

$$I_1=(-\infty,0),\quad I_2=(0,\infty),\quad h_1(y)=-\sqrt y,\quad h_2(y)=\sqrt y$$

$X=0$ となる確率は0なので、この点は除いてよい。

確認テスト

オリジナル

1. 7.1-1 $X\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ とし、$c>0$ とする。$cX\sim\mathrm{Ex}(\lambda/c)$ であることを、(7.7) を使って示せ。
2. 7.1-2 $X\sim\mathrm{Ex}(1)$ とし、$Y=\sqrt X$ と置く。$Y$ の密度を求めよ。また $P(Y>1)$ と、$Y$ の中央値を求めよ。中央値とは $F_Y(m)=\frac12$ となる $m$ のことである。
3. 7.1-3 $X$ の密度が次で与えられるとする。

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1+x}{2}&(-1<x<1)\\0&(\text{それ以外})\end{cases}$$

$Y=X^2$ の密度を求めよ。また $P(Y\le\frac14)$ を求めよ。4. 7.1-4 $X\sim\mathrm N(\mu,\sigma^2)$ とし、定数 $a\ne0,\ b\in\mathbb{R}$ をとる。次を示せ（$a<0$ の場合を含めること）。

$$aX+b\sim\mathrm N(a\mu+b,\,a^2\sigma^2)$$ 5. 7.1-5 $X\sim\mathrm N(0,1)$、$Y=\max(X,0)$ とする。$Y$ の分布関数を $\Phi$ で書け。また、$Y$ が密度を持たないことを示せ。