確認テストの解答

確率論入門　第6章 §6.5

6.1 の解答

1. 6.1-1 値は 0 か 1 しかなく、$0^2=0,\ 1^2=1$ なので $X^2=X$ である。よって $E[X^2]=E[X]=p$ で、

$$V[X]=E[X^2]-E[X]^2=p-p^2=p(1-p)=\frac14-\Bigl(p-\frac12\Bigr)^2$$

となる。最大は $p=\frac12$ のときで、最大値は $\frac14$ である。2. 6.1-2 (a) $k\ge1$ について

$$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^k/k!}{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^{k-1}/(k-1)!}=\frac\lambda k$$

である。この比は $k<\lambda$ で 1 より大きく、$k>\lambda$ で 1 より小さい。よって確率は $k\le\lambda$ の範囲で増え、その後は減る。

$\lambda=3.5$ とする。比は3のとき $3.5/3>1$、4のとき $3.5/4<1$ である。よって最大を与えるのは $k=3$ で、

$$P(X=3)=\mathrm{e}^{-3.5}\cdot\frac{3.5^3}{6}\approx0.2158$$

である。(b) 次の恒等式が成り立つ（右辺を展開すると $X^3-3X^2+2X+3X^2-3X+X=X^3$）。

$$X^3=X(X-1)(X-2)+3X(X-1)+X$$

命題 6.6 の階乗モーメントを使うと、$E[X^3]=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda$ である。3. 6.1-3 非負整数値の $X$ を考える。$k\ge1$ なら $k=\sum_{n=0}^{k-1}1$ なので、非負の項の和の順序を入れ替えて

$$E[X]=\sum_{k\ge1}kP(X=k)=\sum_{k\ge1}\sum_{n=0}^{k-1}P(X=k)=\sum_{n\ge0}\sum_{k>n}P(X=k)=\sum_{n\ge0}P(X>n)$$

を得る（両辺が $\infty$ の場合も含めて成り立つ）。$X\sim\mathrm{Geo}(p)$ なら $P(X>n)=(1-p)^n$ だから、

$$E[X]=\sum_{n\ge0}(1-p)^n=\frac1{1-(1-p)}=\frac1p$$

である。4. 6.1-4 $G(n)=P(X>n)$ と置く。$X\ge1$ なので $G(0)=1$ である。仮定は $G(m+n)=G(m)G(n)$ と書き直せる。$q=G(1)$ と置くと、帰納法で $G(n)=q^n$ である。

$q=P(X>1)>0$ は仮定から成り立つ。$q=1$ なら、すべての番号で $P(X>n)=1$ となる。すると $P(X<\infty)=\lim_nP(X\le n)=0$ となり、$X$ が実数値であることに反する。よって $0<q<1$ で、$p=1-q$ と置くと

$$P(X=k)=G(k-1)-G(k)=q^{k-1}-q^k=(1-p)^{k-1}p\qquad(k\ge1)$$

となり、$X\sim\mathrm{Geo}(p)$ である。

6.2 の解答

1. 6.2-1 平均と2乗の平均は

$$E[X]=\int_a^b\frac{x}{b-a}\,\mathrm{d} x=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}2,\qquad E[X^2]=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

なので

$$V[X]=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12}=\frac{(b-a)^2}{12}.$$

$Y=a+(b-a)U$ の分布関数は

$$P(Y\le y)=P\Bigl(U\le\frac{y-a}{b-a}\Bigr)=\begin{cases}0&(y\le a)\\\dfrac{y-a}{b-a}&(a<y<b)\\1&(y\ge b)\end{cases}$$

である。これは密度 $\frac{1}{b-a}\mathbf 1_{(a,b)}$ の分布関数なので $Y\sim\mathrm U(a,b)$ である。2. 6.2-2 $\phi'(z)=-z\phi(z)$ を使って、$m\ge1$ について

$$\begin{aligned}E[Z^{2m}]&=\int_{\mathbb{R}}z^{2m-1}\cdot z\phi(z)\,\mathrm{d} z=\Bigl[-z^{2m-1}\phi(z)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}+(2m-1)\int_{\mathbb{R}}z^{2m-2}\phi(z)\,\mathrm{d} z\\ &=(2m-1)E[Z^{2m-2}]\end{aligned}$$

である（境界項は $\phi$ が多項式より速く減るので 0）。$E[Z^0]=1$ から順に、

$$E[Z^2]=1,\qquad E[Z^4]=3,\qquad E[Z^6]=15$$

である。$X-\mu=\sigma Z$ と書けるので（命題 6.12）、$E[(X-\mu)^4]=\sigma^4E[Z^4]=3\sigma^4$ である。3. 6.2-3 (6.19) で $k=-1$ と置く。条件 $-1>-\alpha$ は $\alpha>1$ と同値である。$\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)$ から

$$E\Bigl[\frac1X\Bigr]=\frac{\Gamma(\alpha-1)}{\Gamma(\alpha)\lambda^{-1}}=\frac{\lambda}{\alpha-1}$$

である。$\mathrm{Ga}(3,2)$ なら $E[1/X]=2/2=1$ である。これは $1/E[X]=2/3$ より大きく、第10章の Jensen の不等式 $E[1/X]\ge1/E[X]$ の例になっている。4. 6.2-4 (a) $y>0$ について $P(cX>y)=P(X>y/c)=\mathrm{e}^{-(\lambda/c)y}$ である。0 以下の $y$ では 1 である。これは $\mathrm{Ex}(\lambda/c)$ の裾の確率なので、$cX\sim\mathrm{Ex}(\lambda/c)$ である。(b) $X>0$ なので、$\lceil X\rceil$ は正の整数値をとる。正の整数 $k$ について、$\{\lceil X\rceil=k\}=\{k-1<X\le k\}$ だから

$$P(\lceil X\rceil=k)=\mathrm{e}^{-\lambda(k-1)}-\mathrm{e}^{-\lambda k}=(\mathrm{e}^{-\lambda})^{k-1}(1-\mathrm{e}^{-\lambda})$$

で、$p=1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ の幾何分布の確率関数 (6.6) に一致する。5. 6.2-5 (6.27) で $\sigma_1=\sigma_2=1,\ \mu_1=\mu_2=0$ とした密度を使う。命題 6.19 (2) から $X\sim\mathrm N(0,1)$ なので、$f_X(x)=\phi(x)$ である。指数部分について $x^2-2\rho xy+y^2=(y-\rho x)^2+(1-\rho^2)x^2$ が成り立つので

$$\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Bigl(-\frac{(y-\rho x)^2}{2(1-\rho^2)}-\frac{x^2}{2}\Bigr)}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\Bigl(-\frac{(y-\rho x)^2}{2(1-\rho^2)}\Bigr)$$

となる。これは $\mathrm N(\rho x,1-\rho^2)$ の密度である。次に $W=Y-\rho X$ と置く。行列 $B=\begin{pmatrix}1&0\\-\rho&1\end{pmatrix}$ を使うと、$(X,W)^\top=B(X,Y)^\top$ である。命題 6.19 (2) から、$(X,W)$ は2変量正規分布に従い、共分散行列は

$$B\begin{pmatrix}1&\rho\\\rho&1\end{pmatrix}B^\top=\begin{pmatrix}1&0\\0&1-\rho^2\end{pmatrix}$$

である。$|\rho|<1$ なのでこれは正則な対角行列で、命題 6.19 (4) から2つは独立である。

条件付き密度の結果は、$Y=\rho X+W$ という分解とも合っている。$X=x$ を固定すれば $Y=\rho x+W$ である。そして $W\sim\mathrm N(0,1-\rho^2)$ は $X$ と独立だからである。

6.3 の解答

1. 6.3-1 (a) 命題 6.23 から $X+Y\sim\mathrm{Po}(5)$ である。よって

$$P(X+Y=2)=\mathrm{e}^{-5}\cdot\frac{5^2}{2}=12.5\,\mathrm{e}^{-5}\approx0.0842$$

である。(b) $0\le k\le n$ について、独立性から

$$P(X=k\mid X+Y=n)=\frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)}=\frac{\mathrm{e}^{-2}\frac{2^k}{k!}\mathrm{e}^{-3}\frac{3^{n-k}}{(n-k)!}}{\mathrm{e}^{-5}\frac{5^n}{n!}}=\binom nk\Bigl(\frac25\Bigr)^k\Bigl(\frac35\Bigr)^{n-k}$$

で、$\mathrm{Bin}(n,2/5)$ の確率関数である。合計が $n$ と分かったとき、各事象が1つ目の側に入る確率がレートの比 $2/5$ になっている。2. 6.3-2 定理 6.24 から和は $\mathrm{Ga}(3,2)$ に従う。(6.32) で $\lambda t=2,\ n=3$ と置くと

$$P(X_1+X_2+X_3\le1)=1-\mathrm{e}^{-2}\Bigl(1+2+\frac{2^2}{2}\Bigr)=1-5\mathrm{e}^{-2}\approx0.3233.$$ 3. 6.3-3 定理 6.26 で $a_1=2,\ a_2=-1$ と置く。平均は $2\cdot1-(-2)=4$、分散は $4\cdot4+1\cdot5=21$ である。よって $2X-Y\sim\mathrm N(4,21)$ である。標準化して

$$P(2X-Y<0)=\Phi\Bigl(\frac{0-4}{\sqrt{21}}\Bigr)=1-\Phi\Bigl(\frac{4}{\sqrt{21}}\Bigr)\approx1-\Phi(0.873)\approx0.191.$$ 4. 6.3-4 二項係数を階乗で書いて整理すると

$$\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}=\binom nk\cdot\frac{K(K-1)\cdots(K-k+1)\cdot(N-K)(N-K-1)\cdots(N-K-n+k+1)}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}$$

となる。右辺の分数は、分子と分母にそれぞれ $n$ 個の因子を持つ。分子と分母の因子を前から順に組にして比をとる。$K/N\to p$ で $i,k$ が固定されていることから

$$\frac{K-i}{N-i}\to p\quad(0\le i<k),\qquad\frac{N-K-i}{N-k-i}\to1-p\quad(0\le i<n-k)$$

となる。比の積は $p^k(1-p)^{n-k}$ に近づく。よって確率関数は $\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$ に近づく。5. 6.3-5 $\chi^2_n=\mathrm{Ga}(\frac n2,\frac12)$ なので、(6.20) から次を得る。

$$E[Q]=\frac{n/2}{1/2}=n,\qquad V[Q]=\frac{n/2}{1/4}=2n$$

系 6.27 の表し方からも、同じ値を得る。確認テスト 6.2-2 から $E[Z_i^2]=1$、$V[Z_i^2]=E[Z_i^4]-1=2$ であり、その個数倍になる。$n=2$ なら $Q\sim\mathrm{Ex}(\frac12)$ である。よって 0 以上の点で $P(Q>x)=\mathrm{e}^{-x/2}$ である。