この章のまとめ

確率論入門　第6章 §6.4

この章では、以後の章で例として使う分布を、それぞれがどういう試行から生まれるかとともに並べた。離散分布の多くは、成功か失敗かが決まる試行の繰り返しから作られる。

• 成功の回数を数えれば二項分布、初めての成功までの回数を数えれば幾何分布になる。
• $r$ 回目の成功までの回数を数えれば負の二項分布になり、戻さずに取り出す場合は超幾何分布になる。

平均と分散は、2通りで求めた。確率関数の和を直接計算する方法と、指示関数や独立な待ち時間の和に分けて (6.3) を使う方法である。超幾何分布では、指示関数どうしの負の共分散が有限母集団修正として分散に現れた。

連続分布では、次のことを示した。

• 指数分布は無記憶性によって特徴づけられる（定理 6.10）。
• 正規分布は線形変換で閉じていて、標準化で $\Phi$ に帰着する。その裾は $\phi(x)/x$ の速さで減る。
• ガンマ関数とベータ関数の関係 $\mathrm B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ は、ベータ分布のモーメントの計算とガンマ分布の再生性の証明の両方に使った。
• Cauchy 分布は、対称な密度を持ちながら期待値を持たない例である。
• 多変量正規分布は独立な標準正規の線形変換として定義し、その場合に限って無相関と独立が一致することを確かめた。

最後の節では、和の分布を畳み込みで書き、二項分布の Poisson 極限を誤差の上界 $\sum p_i^2$ つきで示した。指数分布の和がガンマ分布に、正規分布の和が正規分布に、標準正規の2乗の和がカイ二乗分布になることを、密度の計算で確かめた。ガンマ分布の分布関数と Poisson 分布の確率の恒等式 (6.32) は、待ち時間と回数という2つの見方が同じ現象を記述していることを表している。

この章の結果は、次の場所で使う。

• 第7章では、この節で個別に行った和や2乗の分布の計算を、変数変換と畳み込みの一般論として整理する。Box–Muller 法や独立な正規分布の比の分布も導く。
• 第8章と第9章では、この章で密度の積分によって示した再生性を、母関数や特性関数が積になることから見通しよく導き直す。
• 二項分布と Poisson 分布と正規分布は、第12章・第13章の極限定理の具体例として再び使われる。
• 指数分布とガンマ分布と Poisson 分布は、第14章で Poisson 過程として1つにまとまる。