独立和の分布と畳み込み

例 (7.7) から、$X-\mu_1\sim\mathrm N(0,\sigma_1^2)$ と $Y-\mu_2\sim\mathrm N(0,\sigma_2^2)$ が成り立つ。$X+Y$ はその和を $\mu_1+\mu_2$ だけずらしたものである。したがって、平均が両方0の場合を示せば十分である。$s^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2$ と置く。(7.18) から

$$f_{X+Y}(z)=\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2\sigma_1^2}-\frac{(z-x)^2}{2\sigma_2^2}\Bigr)\mathrm{d} x.$$

指数の肩の符号を除いた部分を通分し、$x$ について平方完成する。

$$\begin{aligned}\frac{x^2}{2\sigma_1^2}+\frac{(z-x)^2}{2\sigma_2^2} &=\frac{s^2x^2-2\sigma_1^2zx+\sigma_1^2z^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\\ &=\frac{s^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Bigl(x-\frac{\sigma_1^2z}{s^2}\Bigr)^2+\frac{\sigma_1^2z^2-\sigma_1^4z^2/s^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\\ &=\frac{s^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Bigl(x-\frac{\sigma_1^2z}{s^2}\Bigr)^2+\frac{z^2}{2s^2}.\end{aligned}$$

最後の等号では $\sigma_1^2z^2(1-\sigma_1^2/s^2)=\sigma_1^2\sigma_2^2z^2/s^2$ を使った。次のように置く。

$$\tau^2=\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{s^2},\qquad c=\frac{\sigma_1^2z}{s^2}$$

$x$ についての積分は、$\mathrm N(c,\tau^2)$ の密度の正規化から

$$\int\mathrm{e}^{-(x-c)^2/(2\tau^2)}\mathrm{d} x=\sqrt{2\pi}\,\tau$$

である。したがって

$$f_{X+Y}(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\cdot\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_1\sigma_2}{s}\cdot\mathrm{e}^{-z^2/(2s^2)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,s}\mathrm{e}^{-z^2/(2s^2)}$$

となる。これは $\mathrm N(0,s^2)$ の密度である。平均と分散がそれぞれ足し算になる。分散が足し算になることは独立な確率変数一般で成り立つ（第5章 §5.4）が、和がまた正規分布になることは正規分布に特有の性質である。

$\mathrm U(0,1)$ の密度を $f_1=\mathbf 1_{(0,1)}$ と書く。$f_1(z-t)=1\iff z-1<t<z$ なので、(7.18) から

$$f_{k+1}(z)=\int_{\mathbb{R}} f_k(t)f_1(z-t)\,\mathrm{d} t=\int_{z-1}^zf_k(t)\,\mathrm{d} t$$

である。

(1) $f_2(z)=\int_{z-1}^z\mathbf 1_{(0,1)}(t)\,\mathrm{d} t$ は、区間 $(z-1,z)$ と単位区間の重なりの長さである。したがって

$$f_2(z)=\begin{cases}z&(0\le z\le1),\\2-z&(1<z\le2),\\0&(\text{それ以外}).\end{cases}$$

三角形の形をした密度である。

(2) $f_3(z)=\int_{z-1}^zf_2(t)\,\mathrm{d} t$ を、$z$ の場所で分けて計算する。

• $0\le z\le1$ では、積分区間のうち $(0,z)$ だけが寄与する。

$$f_3(z)=\int_0^zt\,\mathrm{d} t=\frac{z^2}{2}$$

• $1<z\le2$ では、2つの部分が寄与する。

$$f_3(z)=\int_{z-1}^1t\,\mathrm{d} t+\int_1^z(2-t)\,\mathrm{d} t=\frac{1-(z-1)^2}{2}+\Bigl(2(z-1)-\frac{z^2-1}{2}\Bigr)=\frac{-2z^2+6z-3}{2}.$$

• $2<z\le3$ では、次のようになる。

$$f_3(z)=\int_{z-1}^2(2-t)\,\mathrm{d} t=\frac{(3-z)^2}{2}$$

• それ以外では0である。

$f_3$ は $z=1,2$ でも連続で、導関数も連続である。たとえば $z=1$ では、左右とも値は1/2、傾きは1である。

(3) まず $P(S_3\le1)=\int_0^1\frac{z^2}{2}\mathrm{d} z=\frac16$ である。$3-S_3$ も同じ分布に従うので、対称性から $P(S_3\ge2)=\frac16$ である。したがって

$$P(1\le S_3\le2)=1-\frac16-\frac16=\frac23$$

である。$P(S_3\le1)=\frac16$ は、単位立方体のうち $u_1+u_2+u_3\le1$ を満たす部分（四面体）の体積としても求められる。