この章のまとめ

確率論入門　第9章 §9.5

この章では、特性関数が分布をただ1つに定めることを、分布を復元する公式を作って証明した。出発点は Dirichlet 積分である。

$$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d} x=\frac\pi2$$

これと Fubini の定理・優収束定理を組み合わせて、区間の確率を特性関数の積分の極限で表す Lévy の反転公式を得た。

$\mathrm{Si}(\theta T)/\pi$ の極限は、$\theta=0$ で 0、それ以外で ±1/2 になる。

このため、端点に原子があるとその確率の半分が数えられる。特性関数が可積分なら、密度は特性関数の逆 Fourier 変換になる。原子の確率は、特性関数の長時間平均で読み取れる。密度の反転公式を Laplace 分布に使うと、留数定理を使わずに Cauchy 分布の特性関数 $\mathrm{e}^{-\left\vert t\right\vert }$ が得られた。

反転公式から一意性定理が出る。原子は可算個しかないので、原子でない点の分布関数の差が特性関数で決まれば、右連続性によって分布関数全体が決まる。これによって、第8章で認めていた次の2つが証明できた。

• 特性関数が実数値なら分布は対称である。
• 積率母関数が 0 の近くで一致すれば分布が一致する。これは、積率母関数が有限なら特性関数がどの点のまわりでも Taylor 級数で表せることを使い、0 から始めて一致する区間を広げる議論で示した。

多変量の場合は、分布に小さな正規分布を足したものの密度が、特性関数の積分で書けることを経由して一意性を示した。そこから次の3つを得た。

• 多変量正規分布 $\mathrm N_d(\bm\mu,\Sigma)$ は、平均と共分散行列だけで決まる。
• 分布は、1次元の射影の分布の全体で決まる。
• 独立性は、同時特性関数の積への分解と同値である。

独立和の特性関数は積なので、一意性定理と合わせると、和の分布は特性関数の積がどの分布の特性関数かを見分けるだけで決まる。二項・Poisson・正規・ガンマ（レートが共通の場合）・Cauchy の再生性を、畳み込みの積分を使わずに証明した。Cauchy 分布の標本平均がもとの分布と同じ分布に従うことから、大数の法則で期待値の存在を仮定する必要があることも分かった。和の特性関数が積になることは独立性を意味しない点には注意が要る。

最後に、キュムラントを多変数に広げた。同時キュムラントは多重線形で、独立な部分を混ぜた混合キュムラントはすべて 0 になる。2次の混合キュムラントは共分散なので、無相関は独立の一部の条件にすぎない。4次の混合キュムラントで、独立でないことを検出できる。

独立成分分析では、白色化によって混合を直交行列に帰着させる。そのうえで、射影の4次のキュムラントの絶対値を最大にする方向を探して源信号を取り出す。正規分布の源信号は高次のキュムラントが 0 なので、この方法では分離できない。

次の第10章では、特性関数と並ぶ道具である積率母関数を使って Chernoff 限界を導き、裾の確率を評価する。第13章では、この章の一意性定理を使って、特性関数の各点収束から分布収束を導く Lévy の連続性定理を証明し、中心極限定理へ進む。