確認テストの解答

確率論入門　第9章 §9.6

9.1 の解答

1. 9.1-1 (9.11) の計算で $X=c$ と置けばよい。積分は $J_T(c)=\frac1\pi\bigl(\mathrm{Si}(T(c-a))-\mathrm{Si}(T(c-b))\bigr)$ で、$a=c$ なので

$$J_T(c)=\frac1\pi\bigl(\mathrm{Si}(0)-\mathrm{Si}(-T(b-c))\bigr)=\frac1\pi\mathrm{Si}\bigl(T(b-c)\bigr)\longrightarrow\frac1\pi\cdot\frac\pi2=\frac12$$

である（$b-c>0$、$\mathrm{Si}$ は奇関数）。右辺の $P(a<X<b)+\frac12P(X=a)+\frac12P(X=b)=0+\frac12+0$ と一致する。2. 9.1-2 $\mathrm{e}^{-\left\vert t\right\vert }$ は偶関数なので、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tx}=\cos tx-\mathrm{i}\sin tx$ の虚部は奇関数となって積分が消え、

$$\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tx}\mathrm{e}^{-\left\vert t\right\vert }\,\mathrm{d} t=\frac1\pi\int_0^\infty\cos(tx)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d} t$$

である。部分積分を2回行うか、$\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}\mathrm{e}^{\mathrm{i} tx}\,\mathrm{d} t=\frac{1}{1-\mathrm{i} x}=\frac{1+\mathrm{i} x}{1+x^2}$ の実部をとって $\int_0^\infty\cos(tx)\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d} t=\frac{1}{1+x^2}$ を得る。よって密度は $\frac{1}{\pi(1+x^2)}$ で、例題 9.1 と整合する。3. 9.1-3 (9.14) で $a=0$ とすると

$$\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\Bigl(\frac12+\frac12\mathrm{e}^{-t^2/2}\Bigr)\mathrm{d} t=\frac12+\frac{1}{4T}\int_{-T}^{T}\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d} t$$

である。第2項は $\frac{\sqrt{2\pi}}{4T}$ 以下なので 0 に収束し、$P(X=0)=\frac12$ である。$a=1$ では

$$\frac1{2T}\int_{-T}^{T}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\Bigl(\frac12+\frac12\mathrm{e}^{-t^2/2}\Bigr)\mathrm{d} t=\frac12\cdot\frac{\sin T}{T}+\frac1{4T}\int_{-T}^{T}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d} t$$

で、第1項は $\frac1{2T}$ 以下、第2項は絶対値が $\frac{\sqrt{2\pi}}{4T}$ 以下なので、ともに 0 に収束する。$P(X=1)=0$ である。4. 9.1-4 $Y$ を $X$ と独立で同分布にとる。(9.2) と $\varphi_{-Y}=\overline{\varphi_Y}=\overline{\varphi_X}$ から $\varphi_{X-Y}(t)=\varphi_X(t)\overline{\varphi_X(t)}=\left\vert \varphi_X(t)\right\vert ^2$ である。命題 9.4 を $X-Y$ と $a=0$ に使うと

$$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left\vert \varphi_X(t)\right\vert ^2\,\mathrm{d} t=P(X-Y=0)=P(X=Y)$$

である。$P(X=Y)$ を $X$ の値で分けて計算する。$Y$ の分布を $\mu$ と書くと、独立性から

$$P(X=Y)=\int P(Y=x)\,P_X(\mathrm{d} x)=\int\mu(\{x\})\,P_X(\mathrm{d} x)$$

である。$\mu(\{x\})>0$ となるのは原子 $x_k$ だけなので、この積分は次に等しい。

$$\sum_kP(Y=x_k)P(X=x_k)=\sum_kP(X=x_k)^2$$

この結果から、$X$ が原子をもたないことと $\frac1{2T}\int_{-T}^T\left\vert \varphi_X\right\vert ^2\to0$ が同値であることが分かる。

9.2 の解答

1. 9.2-1 $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} t}$ は定数 2 の特性関数 $E[\mathrm{e}^{\mathrm{i} t\cdot2}]$ に等しい。定理 9.5 から $X\overset{d}{=}2$、つまり $P(X=2)=1$ である。
2. 9.2-2 与えられた特性関数は

$$\tfrac13(1+2\cos t)=\tfrac13\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}+\tfrac13+\tfrac13\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$$

と書ける。これは $-1,0,1$ を等確率でとる確率変数の特性関数である。定理 9.5 から $X$ はこの分布に従う。$X+Y$ の特性関数は (9.2) から

$$\frac19\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}+1+\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\bigr)^2=\frac19\bigl(\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} t}+2\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}+3+2\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i} t}\bigr)$$

である。各項 $c\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kt}$ を、「値 $k$ をその係数の確率でとる」と読む。そのうえで一意性定理を使う。和の分布は次の表のとおりである。

$$\begin{array}{c|ccccc} \text{値}&-2&-1&0&1&2\\\hline \text{確率}&\frac19&\frac29&\frac39&\frac29&\frac19 \end{array}$$ 3. 9.2-3 $\varphi_{E_1}(t)=\frac{1}{1-\mathrm{i} t}$（第8章の確認テスト 8.3-3）と $\varphi_{-E_2}(t)=\varphi_{E_2}(-t)=\frac{1}{1+\mathrm{i} t}$ から、独立性により

$$\varphi_{E_1-E_2}(t)=\frac{1}{1-\mathrm{i} t}\cdot\frac{1}{1+\mathrm{i} t}=\frac{1}{1+t^2}$$

である。これは Laplace 分布の特性関数（第8章 §8.3）なので、定理 9.5 から $E_1-E_2$ は Laplace 分布に従う。4. 9.2-4 $U=X+Y$、$W=X-Y$ と置く。$uU+wW=(u+w)X+(u-w)Y$ なので、同時特性関数は

$$\varphi_{(U,W)}(u,w)=\varphi_{(X,Y)}(u+w,u-w)=\exp\Bigl(-\frac12\bigl((u+w)^2+2\rho(u+w)(u-w)+(u-w)^2\bigr)\Bigr)$$

である。指数の中は $(u+w)^2+(u-w)^2=2u^2+2w^2$ と $2\rho(u^2-w^2)$ の和なので

$$\varphi_{(U,W)}(u,w)=\exp\bigl(-(1+\rho)u^2\bigr)\exp\bigl(-(1-\rho)w^2\bigr)$$

と分解する。$w=0$ と置けば

$$\varphi_U(u)=\exp\bigl(-\tfrac12\cdot2(1+\rho)u^2\bigr)$$

で、$U\sim\mathrm N(0,2+2\rho)$ である。同様に $W\sim\mathrm N(0,2-2\rho)$ である。同時特性関数が周辺の特性関数の積に分解したので、定理 9.11 から2つは独立である。5. 9.2-5 (9.2) と $\varphi_{-Y}(t)=\overline{\varphi_Y(t)}=\overline{\varphi_X(t)}$ から $\varphi_{X-Y}(t)=\varphi_X(t)\overline{\varphi_X(t)}=\left\vert \varphi_X(t)\right\vert ^2$ である。これは実数値なので、系 9.6 から $X-Y\overset{d}{=}-(X-Y)$ である。

9.3 の解答

1. 9.3-1 命題 9.12 から $\prod_k\exp\bigl(\lambda_k(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)\bigr)=\exp\bigl((\lambda_1+\cdots+\lambda_n)(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)\bigr)$ で、一意性定理から和は $\mathrm{Po}(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)$ に従う。
2. 9.3-2 $\varphi_{2X}(t)=\varphi_X(2t)=\exp(2\mathrm{i} t-8t^2)$、$\varphi_{-Y}(t)=\varphi_Y(-t)=\exp(2\mathrm{i} t-\frac52t^2)$ である。独立なので

$$\varphi_{2X-Y}(t)=\exp\Bigl(4\mathrm{i} t-\frac12(16+5)t^2\Bigr)$$

となり、一意性定理から $2X-Y\sim\mathrm N(4,21)$ である。$P(2X-Y>0)=P\bigl(Z>-\frac{4}{\sqrt{21}}\bigr)=\Phi\bigl(\frac{4}{\sqrt{21}}\bigr)\approx\Phi(0.873)\approx0.809$ である。3. 9.3-3 $\varphi_{a_kX_k}(t)=\varphi_{X_k}(a_kt)=\mathrm{e}^{-\left\vert a_k\right\vert \left\vert t\right\vert }$ なので、命題 9.12 から $\varphi_{\sum a_kX_k}(t)=\exp\bigl(-\sum_k\left\vert a_k\right\vert \,\left\vert t\right\vert \bigr)$ である。例題 9.1 (3) と一意性定理から $\sum_ka_kX_k\sim\mathrm{Cauchy}\bigl(0,\sum_k\left\vert a_k\right\vert \bigr)$ である。すべての係数を $\frac1{100}$ とすると、$\bar X_{100}\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)$ である。よって

$$P(\left\vert \bar X_{100}\right\vert >10)=2\Bigl(\frac12-\frac1\pi\arctan10\Bigr)=1-\frac2\pi\arctan10\approx0.0635$$

である。4. 9.3-4 $X+Y\sim\mathrm U(c-h,c+h)$（$h>0$）と仮定して矛盾を導く。同分布ならモーメントも等しい。

• 平均を比べる。$E[X+Y]=0$ から $c=0$ である。
• 分散を比べる。$V[X+Y]=\frac13+\frac13=\frac23$ である。$\mathrm U(-h,h)$ の分散は $\frac{h^2}{3}$ である。これと等しいとおいて $h=\sqrt2$ を得る。

すると特性関数は

$$\varphi_{X+Y}(t)=\Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^2,\qquad\varphi_{\mathrm U(-\sqrt2,\sqrt2)}(t)=\frac{\sin\sqrt2t}{\sqrt2t}$$

でなければならない。左は常に 0 以上だが、右は $t=\frac{3\pi}{2\sqrt2}$ で $-\frac{2}{3\pi}<0$ になるので、2つは一致しない。同分布なら特性関数は等しいので、仮定は誤りで、$X+Y$ はどんな区間の一様分布にも従わない。5. 9.3-5 $\varphi_Y(t)=\exp(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)$ の絶対値は $\mathrm{e}^{\cos t-1}>0$ なので、0 にならない。$\varphi_{X+Y}=\varphi_X\varphi_Y$ から

$$\varphi_X(t)=\frac{\exp\bigl(3(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)\bigr)}{\exp(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)}=\exp\bigl(2(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)\bigr)$$

で、一意性定理から $X\sim\mathrm{Po}(2)$ である。

9.4 の解答

1. 9.4-1 独立性から（第5章 §5.4）

$$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2],\qquad E[XY]=E[X]E[Y]=0$$

である。よって右辺は $E[X^2]E[Y^2]-E[X^2]E[Y^2]-0=0$ である。2. 9.4-2 1. 密度は対称なので奇数次のモーメントは 0 である。公式 $\int_0^\infty x^n\mathrm{e}^{-bx}\,\mathrm{d} x=\frac{n!}{b^{n+1}}$ を $b=\sqrt2$ で使うと

$$\begin{aligned}E[S_2^2]&=2\cdot\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{2}{(\sqrt2)^3}=1,\\ E[S_2^4]&=2\cdot\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{24}{(\sqrt2)^5}=6\end{aligned}$$

である。よって $\kappa_4(S_2)=6-3=3$ である。2. 定理 9.16 (1) と例題 9.7 (1) から

$$\kappa_4(Y_\theta)=-\frac65\cos^4\theta+3\sin^4\theta$$

である。絶対値は

$$\left\vert \kappa_4\right\vert \le\frac65\cos^4\theta+3\sin^4\theta\le3(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2=3$$

と抑えられる。等号は定理 9.16 (2) から、$\theta=\frac\pi2$（$Y=S_2$）のときだけ成り立つ。3. $\kappa_4(Y_\theta)=0$ は次の条件と同値である。

$$\tan^4\theta=\frac{6/5}{3}=\frac25,\qquad\theta=\arctan\bigl((2/5)^{1/4}\bigr)\approx0.672$$

このとき4次のキュムラントは 0 である。一方、正規分布なら3次以上のキュムラントはすべて 0 である（第8章 §8.4）。そこで6次のキュムラントを調べる。

$$\kappa_6(Y_\theta)=\cos^6\theta\,\kappa_6(S_1)+\sin^6\theta\,\kappa_6(S_2)$$

平均 0 のとき、6次のキュムラントは $\kappa_6=\mu_6-15\mu_4\mu_2-10\mu_3^2+30\mu_2^3$ である（第8章 §8.4 の漸化式から得られる）。これを2つの源信号に使う。

  - 一様分布 $\mathrm U(-\sqrt3,\sqrt3)$ では、$\kappa_6=\frac{27}{7}-27+30=\frac{48}{7}$ である。
  - Laplace 分布では、$E[S^6]=2\cdot\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{720}{(\sqrt2)^7}=90$ から $\kappa_6=90-15\cdot6+30=30$ である。

どちらも正なので $\kappa_6(Y_\theta)>0$ となり、$Y_\theta$ は正規分布に従わない。3. 9.4-3 共分散行列と、求める下三角行列を

$$\Sigma=AA^\top=\begin{pmatrix}5&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}l_{11}&0\\l_{21}&l_{22}\end{pmatrix}$$

とする。$LL^\top=\Sigma$ を成分ごとに解く。

$$\begin{aligned}l_{11}^2&=5 &&\Rightarrow\ l_{11}=\sqrt5,\\ l_{11}l_{21}&=1 &&\Rightarrow\ l_{21}=\tfrac1{\sqrt5},\\ l_{21}^2+l_{22}^2&=1 &&\Rightarrow\ l_{22}=\tfrac{2}{\sqrt5}\end{aligned}$$

$\det L=2$ で

$$L^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}\frac2{\sqrt5}&0\\-\frac1{\sqrt5}&\sqrt5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt5}&0\\-\frac{1}{2\sqrt5}&\frac{\sqrt5}2\end{pmatrix},\qquad L^{-1}A=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}$$

となる。2つの行の長さは $\frac{\sqrt{4+1}}{\sqrt5}=1$ で、内積は $\frac{-2+2}{5}=0$ である。よって $L^{-1}A$ は直交行列である（回転行列で、角度は $-\arctan\frac12$）。4. 9.4-4 (9.20) から $\varphi_{\bm Z}(\bm t)=\mathrm{e}^{-\left\vert Q^\top\bm t\right\vert ^2/2}=\mathrm{e}^{-\left\vert \bm t\right\vert ^2/2}$ で、一意性定理から $\bm Z\sim\mathrm N_2(\bm 0,I)$ である。同時積率母関数も同じ計算で $E[\mathrm{e}^{\bm t^\top\bm Z}]=\mathrm{e}^{\left\vert \bm t\right\vert ^2/2}$ となり、$K_{\bm Z}(\bm t)=\frac12(t_1^2+t_2^2)$ は2次式である。4階の偏微分はすべて 0 なので、4次の同時キュムラントはすべて 0 である。