Lévy の反転公式

$x>0$ について $\frac1x=\int_0^\infty\mathrm{e}^{-ux}\,\mathrm{d} u$ である。これを代入すると

$$\mathrm{Si}(T)=\int_0^T\!\!\int_0^\infty\sin x\,\mathrm{e}^{-ux}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} x$$

となる。被積分関数の絶対値の積分は

$$\int_0^T\!\!\int_0^\infty\left\vert \sin x\right\vert \mathrm{e}^{-ux}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} x=\int_0^T\frac{\left\vert \sin x\right\vert }{x}\,\mathrm{d} x\le T$$

と有限なので、Fubini の定理により積分の順序を交換できる。部分積分を2回行うと

$$\int_0^T\mathrm{e}^{-ux}\sin x\,\mathrm{d} x=\frac{1-\mathrm{e}^{-uT}(u\sin T+\cos T)}{1+u^2}$$

となる。右辺を $T$ で微分すると $\mathrm{e}^{-uT}\sin T$ になる。また右辺は $T=0$ で 0 になる。この2点から確かめられる。したがって

$$\mathrm{Si}(T)=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d} u}{1+u^2}-\int_0^\infty\frac{\mathrm{e}^{-uT}(u\sin T+\cos T)}{1+u^2}\,\mathrm{d} u\tag{9.6}$$

である。第1項は $\frac\pi2$ である。$T\ge1$ では、第2項の被積分関数の絶対値は次のように抑えられる。

$$\frac{\mathrm{e}^{-uT}\left\vert u\sin T+\cos T\right\vert }{1+u^2}\le\frac{\mathrm{e}^{-u}(1+u)}{1+u^2}\le\frac{1}{1+u^2}$$

2つ目の不等号は $\mathrm{e}^u\ge1+u$ による。また被積分関数は各 $u>0$ で、$T\to\infty$ のとき 0 に収束する。優収束定理から第2項は 0 に収束し、$\mathrm{Si}(T)\to\frac\pi2$ を得る。

次に有界性を示す。$\mathrm{Si}$ は連続で、両側の無限遠で有限の極限 $\pm\frac\pi2$ をもつ。

• 十分大きな $R$ をとれば、$\left\vert T\right\vert \ge R$ の範囲で次が成り立つ。

$$\left\vert \mathrm{Si}(T)\right\vert \le\frac\pi2+1$$

• $[-R,R]$ の上では、連続関数として有界である。

よって $C_{\mathrm{Si}}<\infty$ である。

最後に (9.5) を $\theta$ の符号で場合分けして示す。

• $\theta>0$ なら、$x=\theta t$ と置換すれば得られる。
• $\theta=0$ なら、両辺とも 0 である。
• $\theta<0$ なら、正弦関数と $\mathrm{Si}$ がともに奇関数であることから従う。

左辺の積分を $I_T$ と書く。$\varphi(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}]$ を代入すると

$$I_T=\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{T}E\Bigl[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(X-a)}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(X-b)}}{\mathrm{i} t}\Bigr]\mathrm{d} t$$

である。中身の絶対値は (9.9) により $b-a$ 以下で、$[-T,T]\times\Omega$ は有限測度の空間である。よって Fubini の定理により

$$I_T=E\bigl[J_T(X)\bigr],\qquad J_T(x)\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{T}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(x-a)}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(x-b)}}{\mathrm{i} t}\,\mathrm{d} t\tag{9.10}$$

と期待値と積分を交換できる。

$J_T(x)$ を計算する。$\alpha=x-a$、$\beta=x-b$ と置く。指数関数を $\mathrm{e}^{\mathrm{i} t\alpha}=\cos t\alpha+\mathrm{i}\sin t\alpha$ と実部と虚部に分けると

$$\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t\alpha}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t\beta}}{\mathrm{i} t}=\frac{\cos t\alpha-\cos t\beta}{\mathrm{i} t}+\frac{\sin t\alpha-\sin t\beta}{t}$$

となる。2つの項を別々に扱う。

• 第1項は $t$ の奇関数である。$\left\vert \cos t\alpha-\cos t\beta\right\vert \le\left\vert t\right\vert \,\left\vert \alpha-\beta\right\vert$ から有界でもあるので、対称な区間の上の積分は 0 である。
• 第2項は偶関数なので、$[0,T]$ の上の積分の2倍になる。

(9.5) を使うと

$$J_T(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^T\frac{\sin t(x-a)-\sin t(x-b)}{t}\,\mathrm{d} t=\frac1\pi\Bigl(\mathrm{Si}\bigl(T(x-a)\bigr)-\mathrm{Si}\bigl(T(x-b)\bigr)\Bigr)\tag{9.11}$$

を得る。

この式から2つのことが分かる。

1. すべての $x$ と $T$ で次の評価が成り立つ。

$$\left\vert J_T(x)\right\vert \le\frac{2C_{\mathrm{Si}}}{\pi}$$ 2. (9.7) から $T\to\infty$ のとき

$$J_T(x)\longrightarrow J(x)\coloneqq\frac12\operatorname{sgn}(x-a)-\frac12\operatorname{sgn}(x-b) =\begin{cases}0&(x<a\ \text{または}\ x>b)\\[2pt]\frac12&(x=a\ \text{または}\ x=b)\\[2pt]1&(a<x<b)\end{cases}$$

となる。たとえば $x=a$ では、符号関数の値が次のようになる。

$$\operatorname{sgn}(x-a)=0,\qquad\operatorname{sgn}(x-b)=-1,\qquad J(a)=\tfrac12$$

$J_T(X)$ は定数で抑えられ、各標本点で $J(X)$ に収束する。よって優収束定理により

$$\lim_{T\to\infty}I_T=E[J(X)]=P(a<X<b)+\frac12P(X=a)+\frac12P(X=b)$$

を得る。$a,b$ が $F$ の連続点なら、端点の確率は 0 である（第3章 §3.3）。よって右辺は次に等しい。

$$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$$

まず原子がないことを示す。(9.8) の被積分関数は、(9.9) から $(b-a)\left\vert \varphi(t)\right\vert$ 以下である。これは実数全体の上で可積分なので、優収束定理により極限は全体の積分に置き換えられ、

$$P(a<X<b)+\frac12P(X=a)+\frac12P(X=b)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tb}}{\mathrm{i} t}\,\varphi(t)\,\mathrm{d} t\tag{9.13}$$

となる。右辺の絶対値は $\frac{b-a}{2\pi}\int\left\vert \varphi\right\vert \,\mathrm{d} t$ 以下である。

点 $x$ と $h>0$ を取る。区間を $(a,b)=(x-h,x+h)$ とする。左辺は $P(X=x)$ 以上なので

$$P(X=x)\le\frac{2h}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert \varphi(t)\right\vert \,\mathrm{d} t$$

である。$h\to0$ として $P(X=x)=0$ を得る。原子がないので、(9.13) の左辺は $F(b)-F(a)$ に等しい。

次に (9.12) の $f$ を調べる。

• 被積分関数の絶対値は $\left\vert \varphi\right\vert$ 以下で可積分なので、$f$ は定まる。同じ評価から $\left\vert f\right\vert \le\frac1{2\pi}\int\left\vert \varphi\right\vert$ である。
• $x_n\to x$ なら被積分関数は各 $t$ で収束する。よって優収束定理から $f$ は連続である。

(9.9) を (9.13) に代入する。$[a,b]\times\mathbb{R}$ の上で $\left\vert \mathrm{e}^{-\mathrm{i} tu}\varphi(t)\right\vert$ は可積分なので、Fubini の定理を使えて

$$F(b)-F(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\int_a^b\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tu}\,\mathrm{d} u\Bigr)\varphi(t)\,\mathrm{d} t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d} u$$

となる。

左辺は実数で非負である。もし $\operatorname{Im} f(u_0)\neq0$ や $\operatorname{Re} f(u_0)<0$ となる点があったとする。$f$ の連続性から、その近くの小さな区間 $[a,b]$ で右辺の虚部が 0 でないか実部が負になり、矛盾する。

よって $f$ は実数値で非負であり、すべての区間で $F(b)-F(a)=\int_a^bf$ が成り立つ。$a\to-\infty$ とすれば $F(b)=\int_{-\infty}^bf$ となる。したがって $f$ は $X$ の密度である。

被積分関数は絶対値 1 以下なので Fubini の定理が使え、右辺の積分は次に等しい。

$$E\Bigl[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(X-a)}\,\mathrm{d} t\Bigr]$$

中の積分を実数 $c$ について計算すると

$$\frac1{2T}\int_{-T}^T\mathrm{e}^{\mathrm{i} tc}\,\mathrm{d} t=\begin{cases}\dfrac{1}{2T}\displaystyle\int_{-T}^T\cos tc\,\mathrm{d} t=\dfrac{\sin Tc}{Tc}&(c\neq0)\\[8pt]1&(c=0)\end{cases}$$

である。この関数は絶対値 1 以下である。

$T\to\infty$ のとき、この関数は $\mathbf 1_{\{c=0\}}$ に収束する。つまり極限は、0 でない $c$ では 0、$c=0$ では 1 である。$c=X-a$ と置いて優収束定理を使うと、右辺の極限は $E[\mathbf 1_{\{X=a\}}]=P(X=a)$ になる。