独立和の特性関数は積になる

1. $\mathrm{Ga}(\frac12,\frac12)$ の特性関数は $\bigl(\frac{1/2}{1/2-\mathrm{i} t}\bigr)^{1/2}=(1-2\mathrm{i} t)^{-1/2}$ である。(9.22) から

$$\varphi_{Q_n}(t)=\bigl((1-2\mathrm{i} t)^{-1/2}\bigr)^n=(1-2\mathrm{i} t)^{-n/2}$$

で、これは $\mathrm{Ga}(\frac n2,\frac12)$ の特性関数である。定理 9.5 から $Q_n\sim\mathrm{Ga}(\frac n2,\frac12)=\chi^2_n$ である。2. $\varphi(t)=(1-2\mathrm{i} t)^{-n/2}$ を2回微分すると

$$\begin{aligned}\varphi'(t)&=\mathrm{i} n(1-2\mathrm{i} t)^{-n/2-1},\\ \varphi''(t)&=\mathrm{i} n\cdot\Bigl(-\frac n2-1\Bigr)(-2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i} t)^{-n/2-2}=-n(n+2)(1-2\mathrm{i} t)^{-n/2-2}\end{aligned}$$

である。$t=0$ を入れてモーメントを読む。

$$\begin{aligned}E[Q_n]&=\varphi'(0)/\mathrm{i}=n,\\ E[Q_n^2]&=-\varphi''(0)=n(n+2),\\ V[Q_n]&=n(n+2)-n^2=2n\end{aligned}$$ 3. $n=2$ では $\mathrm{Ga}(1,\frac12)=\mathrm{Ex}(\frac12)$ なので、

$$P(Q_2\le2)=1-\mathrm{e}^{-2/2}=1-\mathrm{e}^{-1}\approx0.6321$$

である。

1. (9.22) から $\varphi_{X_1+\cdots+X_n}(t)=(\mathrm{e}^{-\left\vert t\right\vert })^n=\mathrm{e}^{-n\left\vert t\right\vert }$ である。(9.1) の最後の式で $(a,b)=(\frac1n,0)$ として

$$\varphi_{\bar X_n}(t)=\varphi_{X_1+\cdots+X_n}\Bigl(\frac tn\Bigr)=\mathrm{e}^{-n\left\vert t/n\right\vert }=\mathrm{e}^{-\left\vert t\right\vert }$$

となり、定理 9.5 から $\bar X_n\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)$ である。2. 分布関数 $F(x)=\frac12+\frac1\pi\arctan x$ から

$$P(\left\vert \bar X_n\right\vert >1)=2\bigl(1-F(1)\bigr)=2\Bigl(\frac12-\frac14\Bigr)=\frac12$$

である。$n$ を増やしても変わらない。3. 独立な $\mathrm N(0,1)$ の標本平均は、定理 9.13 (3) と (9.1) から $\mathrm N(0,\frac1n)$ に従う。よって

$$P(\left\vert \bar X_n\right\vert >1)=2\bigl(1-\Phi(\sqrt n)\bigr)\to0$$

である。Cauchy 分布では、標本平均のばらつきが $n$ によって少しも小さくならない。第12章の大数の法則は期待値の存在を仮定するが、Cauchy 分布は期待値をもたない。その仮定を外せないことが、この例から分かる。